在构建数学模型中发展思维

笔者最近有幸聆听了特级老师董乐华执教的“解直角三角形应用”一课。董老师引导学生探索解题规律，构建模型，让基本图形“活”起来，让学生能运用基本图形解决实际问题。本节课也是一堂数学探究式学习活动课，通过创设有效的问题情境，引导学生去进行自主探究式的学习，教学过程实质上就是一个不断地发现问题、提出问题、解决问题和反思问题的过程。

以疑引思，初构模型

[问题1] 要求测量某佛塔的高度，手上只有如下测量工具：皮尺、测角仪（能测量仰角和俯角的仪器， 测角仪的高度不计）。如图1，你能利用手中的工具设计出测量方案吗？如果能，请画出测量方案示意图。在你所画出的测量方案中，你需要测量示意图中哪些数据？

生1：如图2，在佛塔的前方A处测出塔顶C的仰角为α，用皮尺测出AD的长度。

生2： 这种方法可以测量底部能直接到达物体的高度。此题中佛塔的底部不能直接到达，AD的长度无法测量，所以这种方法不行。

师：再试试别的方法可以吗？

生3：在佛塔的前方A点测得塔顶C的仰角为30°，向前走一段路程到达B点时，测得塔顶的仰角为60°，用皮尺测出AB的长度为a m（A，O，B在一条直线上），便可求出佛塔CD的高。

生4：由∠ACB=∠A=30°，得CB= AB=a m，则CD=a sin∠CBD=■a m。

师：根据你的测量，∠A与∠CBD的度数、AB的长度可取不同的值啊！ 我们建立了一个解直角三角形的数学模型问题。测量底部能直接到达物体的高度可用第一种方法， 测量底部不能直接到达物体的高度可用第二种方法。

赏析数学来源于生活，董老师用生活问题激活学生的思维。在设计方案时，学生很容易想到第一种方法，经过分析，这种方法不行，从而激发学生的好奇心和强烈的求知欲，去探索测量底部不能直接到达物体的高度的方法，给学生成功的体验、探索的乐趣。让学生在生动具体的情境中学习数学。以疑问引发学生思考，师生互动启迪思维。最后提示∠A与∠CBD的度数、AB的长度可取不同的值——为下面的变式探索埋下伏笔。

以变启思，拓展模型

师：刚才给出的数学模型中，∠A与∠CBD可以取不同的值，形成不同的模型。

[变式一]如图2，在RtΔACD中，∠A=30°，∠CBD=45°，AB=10 m，CD⊥AB于D，求CD的长。

生：可设CD=x m，则BD=x m，AD=（x+10） m。由tanA=■得：■=■，从而解得x=5■+5（m）。

师：还能进行什么变式？

[变式二] 如图2，在RtΔACD中，∠A=45°，∠CBD=60°，AB=10 m，CD⊥AB于D，求CD的长。

师：解法与变式一相同吗？

生：解法类似。

可设CD=x m，则AD=x m，BD=（x-10） m。由tan∠CBD=■得：■=■，从而解得x=5■+15（m）。

师：这3种模型的解法有何特征？

（学生积极讨论）

生1：在第一个模型中，利用了等腰三角形的两腰相等这一性质，把已知的边和已知的角转化到一个直角三角形中，再用锐角三角函数的知识进行解题。

生2：在第二个和第三个模型中，利用了等腰直角三角形的两直角边相等这一性质，把相关的边长用含未知数的代数式表示，把相关的边与角转化到一个直角三角形中，再用锐角三角函数的知识进行解题，

师：还能想到什么变式？

生3：我发现把变式二的图重新摆放，又能成为一个变式。

（老师用鼓励的目光请同学说下去）

[变式三] 如图3，在RtΔACD中，∠D=90°，∠BCD=45°，∠ACD=60°，CD=10 m，求AB的长。

[变式四]如图4，在ΔABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=4■m，求BC的长。

[变式五]如图4，在ΔABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=（1+■）m，求AB的长。

（由学生独立分析画图，互帮互学，并感悟方法。教师对学生活动进行巡视点拨，感悟如何构建直角三角形。）

赏析董老师引导学生从“静态”转化为“动态”，在运动过程中总结出如何构建直角三角形是解决问题的关键。对基本模型进行变式分析，通过引导、提示、评价，在关键处进行点拨，启迪学生的思维，真正把课堂还给学生。

董老师引导学生对问题的现象和本质进行延伸与拓展，促进发散性思维的发展，有利于培养学生发现问题、解决问题的能力。通过5个变式训练， 归纳出同一类问题的解题思路，培养了学生举一反三的能力。

以型激思，化归成规

师：同学们总结了6种基本模型，能从特殊到一般吗？能升华成基本图形吗？大家不妨试一试。（学生互相讨论，老师巡视指导）

生1：如图5，已知点A、B、D在同一直线上，且A、B在点D的同侧，CD⊥AD于D，AB=a，∠CAD=α，∠CBD=β ，求CD的长。

（老师引导学生归纳解决这个模型题的途径是：设CD=x，用含x的代数式表示出BD；把相关的边与角转化到一个直角三角形中，再用锐角三角函数的知识进行解题）

生2：如图6，已知点A，B，D在同一直线上，且A、B在点D的异侧，CD⊥AD于D，AB=a，∠CAD=α，∠CBD=β ，求CD的长。

（老师引导学生交流解决这个模型题的途径，并请学生进行解法归纳）

赏析董老师引导学生归纳，从特殊到一般，由6个数学模型升华成两个基本图形，这是一个自然的、合理的、科学的提升过程。本节课的重点不在于讲解解题时的注意点，而在于如何做？用什么方法做？为什么要这样做？这一类问题怎样做？整个教学过程董老师让学生经历了一次从外到内的洗礼，有利于发现题目深层次的本质内涵，有利于学生的总结提炼。（作者单位：江西省南昌市育新学校）

□责任编辑 周瑜芽

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