在把握基本思想中设计学习活动

作者简介：

北京教育学院初等教育系讲师，从事小学数学教师培训工作，毕业于北京师范大学教育学院，教育学硕士，目前在职攻读博士学位。先后在刊物上发表论文十余篇。

当前老师上课时最怕孩子说的不是“不知道”，而是“我知道”。在“我知道”的状态下，本该活跃的“探究性”课堂成了效率低下的走过场。也许孩子“知道”的更多是结果而缺少过程，但是我们也不能够忽视甚至漠视孩子的“我知道”，避免把孩子已经知道的结果生拉硬拽回认知的起点，我们更应该深刻挖掘在“我知道”的背后，还有哪些孩子不知道的东西，并以此为生长点，真正激发孩子的学习兴趣。在一次培训活动中，组内老师选择“分数基本性质”一课作为研究课的内容，在研磨本课的过程中，同样遭遇了“我知道”的尴尬，本文将在分析“分数基本性质”核心思想的基础上，探讨如何设计有价值的学习活动。

一、对初上探究课为何这般无趣的困惑

在上课之前，通过对教材的分析发现，尽管不同版本教材在活动的设计上略有不同，但却经历了基本相同的学习路径，寻找相等分数——观察分子、分母的变化——概括总结规律——沟通与商不变性质的联系——巩固与应用分数的基本性质。教师也查阅了大量的文献和教学设计，同样发现，这些教学设计整体看来，都是在遵循观察、猜想、验证、发现、概括等一系列探索问题的基本过程。在此基础上教师也作了课堂安排。环节一：观察下面一组分数，猜一猜哪些分数的大小相等？环节二：用分数表示出涂色部分，通过观察验证你的发现并进行小组交流。环节三：全班汇报交流，这几个分数为什么相等，有什么变化规律，你试着说明？并举例以完善结论。环节四：运用“分数基本性质”寻找相等的分数。课堂上发现学生在教师设定的情境中按部就班地“猜想”，然后被教师“逼着”去验证分数相等，接着就是理所当然的观察、发现规律、得出结论及应用，一切都是那么的顺畅、自然，教师的“引导”及时到位，学生的“探究”毫不费力。然而一堂课下来，丝毫没有感觉到课堂“探究”的活力，十几分钟的探究活动似乎是在表演，不时有学生小声说“我早就知道了”……

上完课后，教师茫然了，“分数基本性质”的课真的只能这般缺乏活力吗？忙了半天，只不过是上了一节商不变性质的复习课，对于这样的课，是否有新的教学思路呢？

二、对“分数基本性质”的重新审视

为改变这种“无状态”课的现状，对“分数基本性质”这一内容进行了重新审视。

（一）分数基本性质“承上启下”了什么？

大家在教学设计中几乎都会写到这样一句话“分数基本性质”是一堂“承上启下”的课，那么“上”承的是什么而“下”启的又是什么呢？从下表中可以看到“分数基本性质”这一内容在整个分数学习中的位置：

从表中可以看出，对于分数知识，学生在三年级时就有过接触，对分数有了基本的了解。在此基础上，五年级学习分数意义、性质及应用，这为今后应用分数知识解决系列的实际问题做了铺垫。之所以说“分数基本性质”是“承上启下”的，主要体现在：

1.承上。联系分数与除法的关系，分数基本性质与商不变规律，事实上是用不同的形式表达相同的数量关系；分数的基本性质有助于学生对分数意义的进一步理解，加深对“单位1”的认识，在分子分母变化的同时，不变的是“单位1”，换句话说，在“单位1”不变的情况下，要想保证分数的大小不变，分子和分母要同倍变化。

2.启下。且不说分数基本性质与后续要学习的“比的基本性质”之间的关系，单从分数这一内容来说，分数的基本性质是通分和约分的理论依据，根据分数的基本性质，我们能够解决分数单位的换算问题，统一分数单位，使得异分母分数能够进行加减运算。

正是因为“分数基本性质”与前后内容之间这种千丝万缕的联系，使得“分数基本性质”成为了分数概念学习网络中的重要环节。

（二）“分数基本性质”承上启下的核心在于“分数单位”

“分数单位”作为分数的计数单位，它是所有后续知识、技能的基础，包括分数的意义、分数的基本性质，分数的大小比较、约分、通分，分数的加减法、乘除法以及实际问题的解决。事实上，在数学发展史上，发现新的计数单位始终是数的发展的一条主线。因此，“分数单位”是一个相当基本和重要的概念，绝不可以忽视。人们认识分数，首先都是从认识分数单位开始的。正是因为分数单位发生了变化，为了让异分母分数能够相加减，才需要运用分数基本性质统一分数单位，使得运算能够继续下去。

（三）寻找“等值分数”的前提是保证“量的守恒”

“分数基本性质”的应用是为了寻找“等值分数”，所谓等值分数是指两个分数的分子和分母的数字虽不相同，但是大小相等。“等值”的特性就是分数的名称、分子和分母改变了，但其本质不会改变，即不会改变量的大小。分数单位形成的能力会影响学生的等值分数概念，学生能否在图形中找到适当的分数单位，将原来小的分数单位重新化聚，再利用找到的这个分数单位组成全部的图形，是学生解等值分数问题的关键。

这种“分数单位形成能力”是以儿童的“守恒”能力发展为前提的。“守恒”是皮亚杰理论中的一个重要术语，指物体的形式（主要是外部特征）起了变化，但是个体认识到物体的量（或内部性质）并未改变。之所以当分数单位发生变化，分数大小还能保持不变，就是因为分数单位变小了，分的份数多了，单位的个数也多了，如果儿童不能够认识到这一点，则无法真正理解“等值分数”和“分数基本性质”的内涵。正如有研究者（NikPa）指出，五年级学生虽然能判定当一个分数的分母是另一个分母的倍数或是因数时两个分数是等值，但是却无法解释其意义。因此，帮助学生深刻理解依靠两个量之间关系的变化以保证“量的守恒”是非常必要的。

三、对“分数基本性质”一课再思考

在分析了“分数基本性质”的核心价值及其内涵后，我们对设计什么样的活动有了新的思考：

（一）聚焦分数单位，在“度量”中寻找等值分数

刘加霞教授指出，基于度量的需要，数（shǔ）分数单位的“个数”从而得到分数体现出分数是个“数（shù）”（度量数）的意义。沿袭自然数的“传统”，分数的两个关键要素就是“分数单位”和“单位个数”，即分数单位的“分母”是平均分的“份数”，分子是“1”，其他分数的“分子”就是“分数单位”的“个数”。基于此，从探寻分数单位及其个数之间变化关系的角度来认识分数基本性质，至少有如下几方面的好处：

首先，再次巩固了学生对分数单位的认识，尽管不同版本教材的处理略有不同，但在五年级“分数的意义”这一单元，都讲到了“分数单位”，鉴于前述对“分数单位”重要性的分析，在“分数基本性质”这一课中再次聚焦“分数单位”，以分数单位及其个数为主线来寻找等值分数，是对之前学习内容的进一步巩固。

其次，加深学生对“分数是个数（shù）”（即作为量的分数）的理解，提升分数作为“代数概念”的价值。有人把分数称为“高通达力”的概念，之所以如此，是因为分数是一个“代数概念”（弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中，多次谈到“分数是个代数概念”），从这个意义上来说，分数还可以表示一个“结果”，而不仅仅表示“过程”。一直以来，在学生的心目中都不愿意承认“分数是个数（shù）”，而更愿意把其理解为“率”，一旦某个计算结果以分数的形式出现，学生往往认为没有“算完”，更希望将其化为小数来表示。通过找到不同的分数单位，再数（shǔ）出其个数，并用结果来比较大小的过程，能够使得学生进一步认可作为量的分数的概念。

第三，将分数置于“度量”范围之下去理解，为学生今后理解通分、约分及异分母分数加减法进行铺垫。根据学生以往的“度量”经验，只有相同单位才能直接相加减，例如“1米”加上“1厘米”是绝不可能等于“2米”或“2厘米”的，但是在计算异分母分数加减法时，学生往往理解“在计算同分母分数加减法的时候，分母不变，分子相加减。现在分子相同，我猜测是不是也要不变，而将分母相加。”当教师引导学生往“分数单位”上去想的时候，学生马上意识到“应该先让分数单位相同”。由此可见，在“分数基本性质”教学中，如果能够以“分数单位”为主线，通过“度量”去寻找等值分数将为后续理解通分、约分及分数基本性质的应用奠定基础。

（二）以“彩色纸条”为操作材料，开展学习活动

可以看出，在这里，不论分数墙还是色彩组合棒都起到了相同的作用，就是让学生在操作活动中，通过对分数单位个数的累加，直观地寻找等值分数。为了体现出分数单位在寻找等值分数中的作用和变化，同时考虑到彩色纸条操作起来更加灵活，可以裁剪下来任意拼摆，我们选择用彩色纸条代替色彩组合棒，让学生在操作的过程中，找到不同颜色纸条之间的长度关系，充分体会在总长度相等的情况下，每一种颜色的小纸条长度变了，拼摆时的数量也会发生相应的变化。

（三）通过制造“相等分数”，积累数学活动经验

通过前述的思考，在第二次教学设计时，我们选择利用彩色纸条来帮助学生寻找等值分数（每套纸条一共有10种颜色，除红色代表“1”外，其余颜色的纸条分别被平均分成2份、3份……10份，提供给学生的纸条没有剪开，但是在活动时允许学生可以根据需要进行折或裁剪），每组4～5人，共用一套彩色纸条，之后再让学生通过观察这些等值分数，总结归纳出分数的基本性质。在教学中发现，学生对利用彩色纸条寻找等值分数的活动非常感兴趣，还有不少学生利用不同颜色纸条的拼摆，组合出了更多的相等分数。

因为本课的任务是研究“分数基本性质”而不是分数加减法，因此在上课时，教师并没有给发现上述情况的学生以展示的机会，只让那些每行都用相同颜色纸条拼摆的学生汇报交流。交流之后教师把学生发现的相等分数记录在黑板上，开始讨论“这些分数的分子分母是如何变化的？”由此总结出分数的基本性质，但是因为不少学生从一开始就用不同的纸条盲目拼摆，没有思考“用相同纸条拼摆”的问题，在归纳分数的基本性质时，这些学生的思维并没有得到刚才操作的支撑，而发现等值分数的学生往往直接拿着纸条去进行重合，再把多余的部分折回或裁掉，与我们最初设计的“先找到分数单位，再数出个数”的设想截然不同，于是我们发现，经过热火朝天的活动之后，学生的热情在这一环节回归了平静，又再次回到了第一次上课时的状态，热闹的活动似乎只是引出等值分数的一个前奏。

经过再次的讨论和思考，将教学活动重新调整如下：

第一，为引起学生对“分数单位”的关注，事先将纸条剪开，使得每一段纸条都成为了一个“分数单位”，学生在寻找等值分数的过程中就必须通过数出分数单位的个数，才能够找到这个分数。

第二，将操作环节分为两次，第一次明确提出用“相同颜色的纸条进行拼摆”，并用文字或符号记录下自己的发现，如：两个浅绿色就组合成一个蓝色，三个浅绿色就组合成一个橙色，两个粉色组合成一个橙色。在直观操作的基础上，进而将这种发现转化成分数表述，如：两个六分之一就是三分之一，三个六分之一就是二分之一，两个四分之一就是二分之一，等等，从中得出相等的分数。

第三，各组将发现的相等分数记录在黑板上，派代表边用纸条操作边讨论其变化规律，在总结出规律后，进一步引导学生思考：现在手里的纸条只有这些，还能找到其他更多的相等分数吗？借以引起学生对这一规律普适性的思考。

第四，进行第二次操作，要求可以任意进行组合拼摆，用文字或符号记录下自己的发现，小组讨论并在全班交流，一方面为后续学习异分母分数加减法积累活动经验，另一方面也为学生提供更加广阔的思考空间。

本次调整后发现，学生在课堂上兴趣高涨，在充分操作的基础上归纳“分数基本性质”成了水到渠成的事情，以“分数单位”及其个数为主线来寻找等值分数的活动更是体现了这一内容“承上启下”的基本思想，因此，“把握学科本质是一切教学法的根”，只有整体分析教学内容及其背后的学科本质，才有可能设计出有价值的学习活动。