关于“轴对称图形”中的两个重要基本图形

几何离不开几何图形，几何中每个定义、定理、公理都对应着一个基本图形，除了掌握这些最基本的图形外，还要掌握一些常用的基本图形.在几何知识的学习中，同学们若能注重总结归纳基本图形，必将受益匪浅.下面以苏科版八（上）第二章“轴对称图形”中总结出的两个重要的基本图形为例加以说明.

一、基本图形——垂直平分线

性质：如图1，已知AD是线段BC的垂直平分线，则AB=AC.（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）

判定：如图1，已知AB=AC，BD=CD，则AD是线段BC的垂直平分线.（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）

应用：

例1 如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E.求证：BF=■FC.

【分析】添辅助线往往是找出基本图形的首要条件，它能将不完整的基本图形补充完整.这里辅助线的着眼点就是“垂直平分线”，所以连接AF得到等腰三角形，再利用等腰三角形性质定理证明.

证明：连接AF.

∵EF为AB的垂直平分线，

∴AF=BF，

∴∠B=∠FAB.

∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，

∴∠FAB=30°，

∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°，

∴AF=■FC，

∴BF=■FC.

例2 如图3，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC.求证：MN⊥EF.

【分析】这里辅助线的着眼点依然是“垂直平分线”.要证明的MN与EF的垂直关系以及条件中N是 EF的中点，就是提示我们MN是EF的垂直平分线，所以连接MF与ME得到等腰三角形，再利用等腰三角形“三线合一”证明，从而轻松解决问题.

证明：连接MF、ME.

∵CF⊥AB，

∴△CFB是直角三角形.

又∵M是BC边上的中点，

∴MF=■BC.

同理ME=■BC.

∴MF=ME.

又∵N是 EF的中点，∴MN⊥ EF.

二、基本图形——角平分线

性质：如图4，点P是∠BOA的角平分线OE上的一点，PD⊥OB，PC⊥OA，垂足分别为D、C. 则DP=CP.（角平分线上的点到角的两边距离相等.）

判定：如图4，点P是∠BOA内的一点，PD⊥OB，PC⊥OA，垂足分别为D、C，且 DP=CP， 则点P在∠BOA的平分线上.（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.）

应用：

例3 如图5，OC平分∠AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：∠PDO+∠PEO=180°.

【分析】要证∠PDO+∠PEO=180°，而∠PDO、∠PEO在图形的不同位置，且无平行线使它们联系起来，若设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决.由于OC是角平分线，故可过P点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可.

证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N.

∵OC是角平分线，

∴PM=PN.

在Rt△PMD和Rt△PNE中，

PD=PE，PM=PN，

∴Rt△PMD≌Rt△PNE，

∴∠MDP=∠NEP.

又∵∠MDP+∠PDO=180°，

∴∠PDO+∠PEO=180°.

例4 如图6，已知：∠A=90°，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC.求证：CP平分∠DCB.

【分析】点P在∠ADC的平分线上，欲证点P在∠DCB的角平分线上，可转化为证点P到这个角两边的距离相等，这是本题证明的关键.过点P向DC引垂线，以便充分运用角平分线的性质定理和判定定理.

证明：过点P作PE⊥DC，垂足为E.

则∠1=∠2=90°.

又∵∠A=90°，∴∠1=∠2=∠A=90°.

又∵PD平分∠ADC，∴PA=PE.

∵P是AB的中点，∴PA=PB，∴PE=PB.

∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，

∴∠B=90°.

∴点P在∠DCB的平分线上，

∴CP平分∠DCB.

通过对这两个基本图形的研究，我们不难发现几何问题中所涉及的复杂图形往往都是一些基本图形的叠加和演变.牢牢掌握基本图形，能帮助我们迅速添加辅助线“补图”，找到证题思路.如果我们能掌握这些基本图形的性质和特征，在以后的几何解题过程中，便会从容不迫地应对各种复杂的图形.