例谈递进式几何探究题求解策略

何为递进式几何探究题

递进式几何题都具有如下特点：小切口，深分析， 其问题都是从特殊到一般，由表及里、由浅入深，每个问题之间，是逐步递进的关系，前一问题的解法对后一问题的解法有直接或间接的提示作用，解法互相关联.

解答递进式几何探究题的策略

关键在于对后续问题中图形结构进行类比联想，可添加适当的辅助线，化归为前面问题中出现的相同或相似的图形结构模型，以已经解决的问题的结论或方法，类比、猜想、论证另一个问题的结论或方法，抽丝剥茧、层层深入.

例题精讲

如图（1）～（3），已知∠AOB的角平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α（0°<α180°），∠CPD=β.

（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；

（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由；

（3）如图（3），当α+β=180°时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立？请说明理由.

（2）与（1）比较，α从特殊的90°变成较为一般的60°，β从特殊的90°变成较为一般的120°，图形结构没有本质变化，关键是α+β仍然是180°，因此，以（1）的思路方法为模型，应该仍可证结论成立.

（3）与（1）（2）比较，图形与角度更具有一般性，但仍然保持α+β=180°这一本质特征，因此，可模仿上面的思路猜想并证明.模仿过程中，原来找什么角和边的，现在还找什么角和边，但要注意理论依据可能有所变化.

（2）成立.理由如下：如图1，作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，所以∠CEP=∠DFP.因为OP平分∠AOB，所以PE=PF.

在四边形EOFP中，因为∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，所以∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°.

又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°，所以∠EPC= ∠DPF.

（3）成立.理由如下：

【点评】本题主要考查了角平分线性质、三角形全等的判定和性质，综合性强，有一定的难度.

递进式几何探究题是近年热点题型，随着学习的深入，同学们将会有更多的接触，其解法并不神秘，从起始基本问题挖掘 “模型”（或者说基本图形）是解决问题的有效策略.