数学思想在“轴对称图形”中的渗透

数学思想方法是数学的灵魂，各种考试命题都加强了对它的考查，现举例说明数学思想在“轴对称图形”一章中的渗透.

一、 转化思想

转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现.就解题的本质而言，解题就意味着转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题，把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等.因此同学们若能掌握转化思想，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和培养数学能力.下面就“转化思想”在《轴对称图形》一章中的应用举例进行说明.

1.生活中有许多非直线路径问题，我们采用适当的方法可以将它们转化为直线路径来处理，往往能化繁为简.

例1 在广阔无垠的大草原上，一个人骑着马从A到B，半路上他必须在河边饮马一次，如图1，他应该怎样选择饮水点P，才能使所走的路程AP+PB最短呢（假定河岸是直线l）？试在图中作出该点，并说明理由.

【分析】这个问题源于古希腊的著名“饮马问题”，大数学家海伦曾运用轴对称方法巧妙地解决了这个问题.作点B关于小河l的对称点B1，连接AB1，交l于点P，则点P就是饮马点.

这种解法的依据是“两点之间，线段最短”，而究其思想，在本质上是化曲为直，马在到达点P的前后方向改变了，但我们可以设想马是按照A→P的方向来到点B的（前后行走方向未变），那么马的到达点必然是点B关于直线l的对称点B1.

作法：如图2. （1）作点B关于直线l的对称点B1；

（2）连接AB1，交直线l于点P.

则沿路径AP→PB饮马，总路程AP+PB最短.

理由：如图2，在直线l上任取一点P1（不与P重合），连接AP1、BP1、B1P1.由轴对称的性质，得PB=PB1，BP1=P1B1.在△AB1P1中，AB1

2.当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角关系寻找到等腰三角形.

例2 如图3①中，若∠ABC=2∠C，如果作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；如图3②中，若∠ABC=2∠C，如果延长CB到D，使BD=BA，连接AD，则△ADC是等腰三角形；如图3③中，若∠B=2∠ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形.

如图4，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC.求证：∠A=90°.

【分析】由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对∠ACB=2∠B进行处理，即作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E，则由∠ACB=2∠B知∠B=∠BCD，即△DBC是等腰三角形，而DE⊥BC，所以BC=2CE，又BC=2AC，所以AC=EC，所以易证得△ACD≌△ECD，所以∠A=∠DEC=90°.

【说明】本题也可以利用图3的②、③来构造等腰三角形求解.

3.在证明线段相等或求某些线段长度时也常常会用到等线代换，将要求的线段转化为已知线段.

例3 如图5，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，BC=5cm，求△PED的周长.

【分析】因为BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的平分线，所以∠1=∠2，∠3=∠4，因为PD//AB，所以∠1=∠5，所以∠2=∠5，所以BD=PD.（等角对等边）

因为PE//AC，所以∠4=∠6，所以∠6=∠3，所以PE=EC.（等角对等边）

所以△PDE的周长等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm.

二、分类思想

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法.所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法.分类思想是初中数学重要的思想之一，因试题覆盖的知识点多，知识面广，具有明显的“逻辑性、综合性、探索性”的特点，能体现“着重考查学生数学能力”的要求，所以成为历年中考的热点之一.从近几年中考考生答题情况来看，分类讨论题得分率很低，考生出错往往是因为不知何时、为何分类，在分类过程中存在重复和遗漏现象.有关分类讨论的思想的数学命题在中考试题中占有重要地位，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论.下面就“转化思想”在“轴对称图形”一章中的应用举例进行说明.

例4 1.一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为4cm，求其他两边的长.

【分析】分两种情况讨论：

①若以4cm为底边长，设腰长为xcm，则有4+2x=18，∴x=7.

∴另外两边的长为7cm，7cm.

②若以4cm为腰长，设底边长为ycm，则有4×2+y=18，∴y=10.

∵4+4<10，不满足三角形的三边关系，

∴4cm，4cm，10cm不能组成三角形.

∴三角形的另外两条边长为7cm，7cm.

2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）

A.60° B.120°

C.60°或150° D.60°或120°

【分析】分两种情况，①当顶角是锐角时，如图6，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°.

②当顶角是钝角时，如图7，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC=120°.所以顶角度数为60°或120°，所以选D.

三、 方程思想

方程思想是一种极为重要的数学思想，是中考数学中必考的基本数学思想之一.方程思想通俗地讲就是当你遇到无法求值的量，如线段的长度、角度等涉及大小求值的问题，能够主动地设未知数（用字母表示），寻找等量关系，建立方程，通过解方程求出结果的一种思想意识.通过下面一些题，看看你有没有建立起来方程思想吧.

例5 如图8，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求∠A的度数.

【分析】本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了.

解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=z.

∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC=z.

∵BE=DE，

∴∠EBD=∠EDB=y.

∵AD=DE，

∴∠A=∠AED=x.

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴x=2y，z=x+y，x+z+z=180°.

解得：x=45°.

即∠A=45°.

例6 若等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.