数学思想方法在全等三角形解题中的应用

数学学习内容是数学基础知识和数学思想方法的有机结合.在数学课上，同学们往往只注意了对数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点及由此产生的解决问题的方法与策略.下面，让我们一起走近“全等三角形”，体会一下隐藏在知识背后的思想方法.

一、化归思想

化归是数学中用以解决问题的最基本的手段之一，可以理解为转化、归结的意思，是指把待解决的问题通过某种转化，归结到较易解决的问题中去的一种手段或方法.

证明线段相等或角相等等问题往往可以化归为证明三角形的全等，相关辅助线也是为这一目的而添置的.

例1 如图1，已知：在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC的延长线上一点，连接DE交BC于G，DG=GE，求证：BD=CE.

证明：过点D作DF∥AC交BC于F. ∵DF∥AC，∴∠DFG=∠ECG，又∠DGF=∠EGC，DG=EG，∴△DFG≌△ECG，∴CE=DF.∵DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，∴∠DFB=∠ABC，∴DB=DF，∴BD=CE.

【评注】本题要证BD=CE，然而BD和CE这两条线段所在三角形却不可能全等，这时就通过添加辅助线DF构造出全等三角形，从而使问题获得解决.

例2 如图2，已知：在△ABC中，AB=3，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围.

解：延长AD到E，使DE=AD.

在△ABD和△ECD中，∵AD=ED， BD=CD，∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD. ∴AB=EC.

在△AEC中， AC-EC

即AC-EC<2AD

【评注】本例要解决的是边与边的不等关系，必须在同一三角形中运用三边关系定理，然而在△ABD、△ADC和△ABC中均不能解决，势必利用“倍长中线”构造全等三角形，将已知条件归结到一起来解决问题.

二、整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理.

例3 如图3，已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，∠C=∠C′，△ABC和△A′B′C′的周长相等，求证：△ABC≌△A′B′C′.

本题待证的两个三角形已有两组角对应相等，但缺全等的必备条件“边对应相等”，因此要把“周长相等”整体转化成“边相等”.

分别在直线BC和直线B′C′上截取BD=BA，CE=CA，B′D′=B′A′，C′E′=C′A′，则有DE=D′E′，易证△ADE≌△A′D′E′，可得AD=A′D′，从而△ABD≌△A′B′D′，于是AB=A′B′，这样待证的两个三角形全等的条件都已满足.

三、方程思想

在几何证明问题中，若能根据题目和图形的特征，运用方程思想去处理，往往容易找到解决问题的切入点，收到奇效.

例4 设Rt△ABC与Rt△DEF的面积相等且斜边相等，即AB=DE，求证：△ABC≌△DEF.

证明：设a，b，c为Rt△ABC的边长，d，e，f为Rt△DEF的边长，则有：

S△ABC=■ab，S△DEF=■de，于是由S△ABC=S△DEF知ab=de①，又知c=f，故c2=f 2，即a2+b2=d2+e2②（勾股定理将在第三章学习），由①②可得（a+b）2=（d +e）2， （a-b）2=（d-e）2，即a=d，b=e或a=e，b=d.不论哪种情况，都有△ABC≌△DEF.

运用数学符号形成的语言将相等关系转化成方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题得到解决.几何问题代数化，事半功倍.

四、分类思想

分类思想是根据对象的相同点和差异点将对象划分为不同种类的方法，分类的标准往往是根据不同的实际需要来确定的，分类必须做到不重不漏.

例5 已知两个三角形有两条边及其一边上的高对应相等，则第三边所对角有怎样的关系并说明理由.

本题用几何语言叙述为：在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，D、D′为垂足，AD=A′D′，∠ABC和∠A′B′C′有怎样的关系？

显然，∠ABC和∠A′B′C′的关系，须通过两个图形的全等关系来说明.然而我们并不能直接判定这两个三角形全等，必须根据数形结合来进行分类讨论：

如果△ABC和△A′B′C′同为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时，易证△ABC≌△A′B′C′，从而∠ABC=∠A′B′C′；如果△ABC和△A′B′C′一为钝角三角形，一为锐角三角形，如图4所示，不妨设△ABC为钝角三角形，△A′B′C′为锐角三角形，易证△ABD≌△A′B′D′，则∠ABD=∠A′B′C′，于是∠ABC和∠A′B′C′互补.

数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是知识转化为能力的桥梁，是解题过程中披荆斩棘、劈山开路的宝剑.同学们要学会运用数学思想方法去分析问题和解决问题.