拨云见日

“轴对称图形”的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用.在此基础上，利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形；探索等腰梯形的特征，了解它的性质和判定，体验类比转化思想的运用，发展同学们的说理意识和主动探究的习惯.

本章是初中数学的重要内容，也是中考热点问题之一.同学们刚接触几何不久，一方面要注意说理的严谨，另一方面更要注意难点的突破.下面就本章中的几个常见的难点问题进行分析解剖，借助轴对称的有关知识，帮助同学们迅速找到解题途径，化难为易，使问题迎刃而解，拨开云雾见青天.

一、判断轴对称图形

例1 把一张正方形纸片按如图1所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ ）

A.六边形 B.八边形

C.十二边形 D.十六边形

【解析】将图以对角线为对称轴两次对折后剪去两个角，得到一个对称图形，且相对称的图形为八边形，故选B.

【点评】本题通过图形的折叠与展开考查轴对称图形的特点，可以通过逆推法依次作出最后一个图形关于折痕的轴对称图形，然后判断，也可以直接动手操作验证.

二、设计轴对称图案

例2 在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图2摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种.

【解析】根据轴对称图形的性质，移动任一个正方形，即可得出符合要求的答案.共有13种做法.

【点评】此题主要考查了利用轴对称原理设计图案以及分类讨论的思想.熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的图形特征，从不同的角度找准对称轴.

三、求最短距离

例3 如图3，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水.

（1）求到河边饮水的最短路线.

（2）如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图.

【解析】这是一道实际生活问题，使其转化为抽象的数学问题是解题的关键.（1）可转化为点M到直线的最短距离.（2）可得到这样的数学模型：直线a、b间有一点M，试分别在a、b上求出两点，使M点与这两点构成的三角形的周长最短. 要求周长最短，即要求三条线段的和最小，结合题意，可利用轴对称的性质转化为两点之间线段最短的问题.

【点评】（1）如图4，利用垂线段最短获解. （2）如图5，点A、M关于直线a对称，则可得到CA=CM，同理DM=DB，所以MC+CD+DM=AC+CD+DB，这实际上将ΔMCD的周长，即三条不在同一直线上的线段和转化成了两点之间的距离问题，由于“两点之间，线段最短”，因此连接AB与直线a、b的交点即为所求的两点.本类题目的变式很多，关键是“搬点移线”，把图形中分散、缺乏联系的元素集中到新的图形中，运用“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”等基本定理来解决问题.

四、折叠类问题

例4 长为20、宽为a的矩形纸片（10第二次操作）.如此反复操作下去.若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止.当n=3时，a的值为 .

【解析】由题意可知，当10

则20-a=（2a-20）-（20-a），解得a=15.

∴当n=3时，a的值为12或15.

【点评】折叠类问题很多都用到轴对称的性质.解决此题的关键是掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用以及折叠中的对应关系.在做此题时，部分同学常忽略第二种情况.

五、利用等腰三角形的性质求角度

例5 如图7，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB上，BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度数.

【解析】已知条件中，相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为是求“角”的度数，所以将“等边”转化为“等角”，充分利用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°，求解此题.

解答过程略，答案为45°.

【点评】此题的关键是化边等为角等，联系三角形的内角和或外角的性质求解.

另外，本章还有个难点问题是等腰梯形性质的应用.用各种辅助线如作高、平移对角线、平移腰、延长构造三角形等将梯形转化为三角形或是特殊四边形来解决问题.在特殊四边形学习中，同学们会接触到这类问题.

运用轴对称的知识来解决问题在近几年中考中占有相当重的比例，同学们在分化难点的同时，要掌握同类型变式问题的解决方法.其实万变不离其宗，掌握方法是关键.以方法为基础，仔细分析，逐个击破，提高解题的信心和能力.