三角形全等的难点突破

三角形全等的证明是学习初中几何证明的重要奠基阶段，是今后证明较复杂的几何题的基础，下面就这部分内容的学习和同学们谈三点经验.

一、确定全等三角形的对应关系

在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角，是解决与全等三角形相关的问题的关键.全等三角形有许多对应的元素，怎样寻找这些对应元素呢？

1.根据全等符号暗示的信息找对应

符号语言是数学思维的载体，教材中说，“记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上”，此要求同学们在学习中要严格遵循，养成按对应顶点表示全等三角形的习惯，并且按“对应顶点记位置”的特点找全等三角形的对应边、对应角，达到无需看图也能迅速找出两个全等三角形的对应边和对应角的目的.

例1 已知△ABC≌△BAD，如果AB=8，BD=9，AD=11，那么AC= .

【分析】一般情况下，在用符号≌表示两个三角形全等时，我们是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，根据这个规则可知：对应位置上的字母就是表示对应顶点的字母，对应位置上的字母表示的线段就是对应边，表示的角就是对应角.由题设已知中所给△ABC≌△BAD符号表示可知：AC与BD是对应边（如图1），所以AC=BD=9.

例2 已知△ABC与△DEF全等，∠A=30°，∠B=50°，则∠D=（ ）.

A.30° B.50° C.100°

D.以上三种情况都有可能

【分析】注意本题与上例的区别，题目只说△ABC与△DEF全等，并没有给出对应法则（即没有用全等关系的符号）表示，所以会出现三种可能，选择D.

2.观察图形特征暗示的信息找对应

①有公共边的，公共边是对应边；

②有公共角的，公共角是对应角；

③有对顶角的，对顶角是对应角；

④两个三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角的夹边是对应边；

⑤两个三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边的夹角是对应角；

⑥两个三角形中，一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边；

⑦两个三角形中，一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.

二、灵活选择运用判定方法

三角形全等的证明有三条公理、一条推论以及直角三角形特有的斜边直角边公理.每个公理和推论都有自己的符号表示形式，如SAS、ASA、AAS、SSS、HL等，在学习中可以充分考虑已知条件和图形的结构特点，利用公理及推论的字母表示形式去寻找解题思路，培养解题能力.如：（1）已知条件中有两边对应相等时，找两边的夹角或第三边对应相等（SAS、SSS）；（2）已知条件中有两角对应相等时，找两角的夹边或任何一组等角的对边相等（ASA、AAS）；（3）已知条件中有一边和一角对应相等时，找夹等角的另一组边对应相等，或任何一组角对应相等（SAS、AAS）.

例3 如图2，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为： .你得到的一对全等三角形是： .

【分析】本例是一道条件探索型试题，需从结论出发，执果索因，考虑要图中存在全等三角形，现已有哪些条件，逆推还需添加什么条件， 同时本例又是一道开放性试题，答案不唯一，从图中也可以直观地看出可能有△ACE与△ADE，△ABC与△ABD，△BCE与△BDE三对三角形全等.

若要△ACE≌△ADE，现已有AC=AD，又AE=AE（公共边），故还需添加CE=DE（从边的角度考虑用SSS）或∠CAE=∠DAE（从角的角度考虑，已有两边，考虑两边的夹角用SAS）；

若要△ABC≌△ABD，现已有AC=AD，又AB=AB（公共边），故还需添加BC=BD或∠CAB=∠DAB；

当然由△ACE≌△ADE或△ABC≌△ABD，也可推得△BCE≌△BDE.

故所添条件为：CE=DE，或∠CAE=∠DAE（∠CAB=∠DAB），或BC=BD.

由此得到的一对全等三角形是： △ACE≌△ADE，或△ABC≌△ABD，或△BCE≌△BDE.

三、熟悉三角形全等的基本图形

在全等三角形的学习中，有很多的基本图形，我们通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察分析，看出其中一个三角形是由另一个三角形经过平移、翻折、旋转变换后形成的，我们将常见的三角形全等的基本图形整理如下：

1.平移型：图3的图形属于平移型图形.它们可看成是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而证得.

2.对称型：图4属于对称型图形.它们的特征是可沿某一直线对折，且这直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.

3.旋转型：图5属于旋转型图形.它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中.

这些基本图形都是由三角形经过图形的运动得到的，只有熟悉了这些图形，才能学会从复杂的图形中分离出题目需要的基本图形，对今后解决有关问题是大有益处的.在具体解题时，如能抓住基本图形，就比较容易找到解决问题的途径和方法.

四、复杂图形拆分为基本图形

当图形复杂时，我们可把不需要的线段、角隐藏，也可将图形分离、涂色等.图形分离就是面对一个较为复杂的图形时，我们从解题的需要出发，在保持图形中各元素（点、线、角等）相对位置不变的情况下，提取出原图形的一部分来分析问题的解决方法.分离出来的基本图形比原图形简捷，少了许多来自不相干的图形元素的干扰，看着简化后的图形，结合基本知识，诸多问题可迎刃而解.

例4 如图6，已知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，且B、C、E在同一直线上，求证：BD=AE.

【分析】BD是△BED或△BCD的边，AE是△ABE或△ACE的边，显然△BED和△ABE不全等，故转而考虑△BCD和△ACE，将△BCD和△ACE涂色，特别关注这两个三角形，它们有BC=AC，CD=CE，欲证它们全等尚需一个条件，即BC和CD的夹角与AC和CE的夹角是否相等.因∠BCD=60°+∠ACD=∠ACE，故△BCD≌△ACE，从而BD=AE.

【点评】当我们利用全等三角形证明线段或角相等时，首先观察线段或角在哪两个可能全等的三角形中，将它们涂色后加以特别的关注，然后再分析欲证全等的这两个三角形中，已知什么条件，还缺少什么条件，想方设法证得所缺条件.