实例合作学习模式在数学建模教学中的实践

王 扉，王梦贤，夏方礼

(湖南城市学院数学与计算科学学院，湖南益阳413000)

众所周知，科教兴国的关键是创新型人才的培养。具有创新精神的人才必须深刻地掌握现代科学技术研究的基本方法:理论研究、科学实验和科学计算，而这三大基本方法要求具有扎实数学技术。数学技术主要由数学分析技术、数学建模技术、数学软件技术、数学实验技术与科学计算技术组成[1]。

数学建模于1960-70年代进入西方国家的大学，1980年代初开始进入我国大学。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学技术化的主要途径。为了适应科学技术发展和创新型人才培养的需要，国内外越来越多的大学正在将数学建模与教学改革相结合，努力探索更有效的数学建模的教学法和新思路。

在数学建模教学中，学生起点不一、专业混杂、教学内容繁杂、课时少等状况制约了教学效果。传统教学中理论课、实验课、课程设计三者脱节，理论课“满堂灌”，实验课“教条化”，而课程设计“放羊”，学生处于被动地位，缺乏兴趣，导致教学效果事倍功半。针对这些问题，结合笔者的一些教学实践经验，本文提出了一种“实例研究”与“合作学习”相结合的教学模式——实例合作学习模式。该模式利用问题驱动和教学中各因素之间的互动，提高了学生自主学习、团队学习和研究性学习的能力。

一 实例合作学习模式概述

实例研究法是指在某一学科领域的实践中，抽取一些具有共性而无唯一答案的问题，综合利用该学科的理论和应用知识，分析解决问题的方法和步骤，指出可能影响到相应问题解决的种种因素，从而找出带规律性的方法和结论[2]。合作学习是1970年代初兴起于美国，并在1970年代中期至1980年代中期取得实质性进展的一种富有创意和实效的教学理论与策略体系，是指学生在学习群体中“为了完成共同的任务，有明确的责任分工的互助性学习”[3]。实例合作学习是以合作学习小组为基本组织形式，在教师的组织引导下，以解决一些开放性的问题为目的，通过学生自己的主动探索和学生与学生之间、组与组之间、教师与学生之间的互动过程，完成实例研究报告的一个教学过程。

在实例合作学习模式的实施中，教师首先根据教学要求设计和选取实例，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，然后营造一个生动活泼的环境去引发学生的学习欲望，鼓励学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索、努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神。

二 实例合作学习模式在数学建模课程教学中的应用

数学建模课程总的教学目标与任务是使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使学生在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高学生尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来以解决实际问题[4]。

为了在有限的学时内让学生通过实例的研究，掌握数学建模的方法和提高综合分析能力与创新能力，教师可采取先导入具体实例、然后融入背景知识点的方式讲解，激发出学生的学习兴趣，然后把实例中涉及的知识点、难点及重点进行归纳、分析，引导学生课后分组自主学习相关知识。通过课堂汇报研究成果、课程设计和竞赛等形式组织引导小组合作学习，把整个数学建模过程变成一个互相交流学习的过程，一个不断探索和提高的过程。

(一)选取典型实例，构造合作学习愿景

教学实例构建是实例合作学习教学模式的核心。数学建模教学中的案例一般由工程技术和管理科学及社会热点问题简化而成。选题既要考虑数学知识、计算机技术等小组合作学习的需要，又要照顾部分学生深入研究的需要，这样才能充分调动学生的积极性和团队的协作精神。以下是数学建模实例设计与选取的原则:

1．突出教学重点，拓展学生知识面

结合教学单元，展示一个个实例的数学模型构建与求解应用过程，可极大地激发学生的求知欲和好奇心。例如，讲授无约束优化模型时，选取“生猪的最佳出售时机”作为案例。该案例与实际生活结合紧密，能有效地激发学生的求知欲。通过引导学生课堂上分组合作学习，展开对该实例的思考、讨论、归纳和总结，学生不仅能掌握数学规划模型的建立与求解的步骤和方法，还能更好地理解结果对参数的相对敏感程度分析和模型的强健性等新知识，教学效果显著。

2．突出时效与趣味

爱因斯坦说过:“兴趣是最好的老师。”这就是说一个人一旦对某事物有了浓厚的兴趣，就会主动去求知、去探索、去实践，并在求知、探索、实践中产生愉快的情绪和体验。例如，2011年3月11日，日本福岛发生里氏9．0级地震，地震引发了海啸，造成福岛核电站核泄漏事故。当时国内一部分居民因不明情况出现恐慌情绪，由此产生了抢购碘盐等风波。笔者构造了一组数据模拟福岛核电站核泄漏事故和采集两组大气环流和大洋环流数据，引导学生建立微分方程模型，分析评估核泄漏事故对中国内地的影响。学生对此问题产生了浓厚的兴趣，在课堂上展开了热烈的讨论，最后通过数学建模与数学实验，得出核泄漏事故对中国沿海地区有微弱的影响、对中国内陆地区影响甚微的结论，及时地消除了学生的恐慌心理，使学生树立了尊重科学的观念。

3．突出学生的主体地位，因材施教

教师可针对不同的教学对象组织不同的范例，学生可针对自己的情况和兴趣选择不同难易程度、不同应用领域的实际问题，促进学生学习个性化和个别化。在实例研究过程中，小组自主组织学习、讨论、辩论、实验和撰写研究报告，教师不参与其中任何具体工作，只起质疑、答疑、辅导的作用。

4．遵循循序渐进的原则

选题要注意选取复杂度不高的实例，由简到难，步步深入，不要让大多数同学感到难以下手。学期初，可布置学生研读课本上的实例，报告学习心得，培养学生自主学习的能力;学期中，可指定学生分析解决一些简单实际问题，例如，在“微分方程模型”单元教学中可利用“酒驾的判定”、“蹦极过程的计算机仿真”等实例合作研究，培养学生综合分析能力和发散性思维;学期末，可仿照大学生数学建模竞赛，从当年各高校赛题中选出若干反映社会热点的实际问题，由合作学习小组任选一题作为课程设计，在指定的时间内完成，以拓展学生知识面，培养学生创新意识和团队精神。

(二)组建数学建模团队，搭建合作学习平台

合作学习是实例合作学习教学模式的灵魂。可抽取班级中对数学建模兴趣浓厚且基础较好的学生，特别是参加过数学建模竞赛的学生为队长，然后按数学建模分工合作要求对学生进行组队，每队3人，由队长协调团队内学生分工合作。团队成员包括:建模人员(数学思维要灵活、具有扎实的数学功底)，编程人员(编程能力要强、精通计算机技术)，写作人员(文字功底要好、表达要简明扼要)。

引导团队成员合理分工合作。要求队员先独立分析问题与探索解决问题的思路，再交流讨论各自提出的不同解决问题的方案;在充分讨论达成共识的基础上，再由队长具体分工，明确各自的研究任务。建模人员与编程人员要密切配合，写作人员要善于收集资料，分析有用信息，提供给建模人员与编程人员参考，并且随时跟进建模与求解的进度，检查工作进展与结果的正确性。

(三)有效管理，提升合作学习效果

有效管理是由彼得·德鲁克提出的一种创新的、务实的、普适的管理理论，主要包括以下观点:①卓有成效是可以学会的;②掌握自己的时间;③注重贡献，并懂得将自己的工作与长远目标结合起来;④发挥自己、下属和上级的长处;⑤集中精力，要事优先;⑥决策要有明确的要素和一定的步骤;⑦作出有效的决策[5]。

有效的管理总能带来“整体大于部分”的效果。下面从管理者的4个基本工作职能——计划、组织、领导、控制——讨论教师对合作学习的有效管理。

1．制定“有效计划”

计划就是确定要达到的目标，并事先确定实现目标所需的正确行动。数学建模课程教学面对的问题具有多样性，计划能有效消除教学中的不确定性。计划还可以消除教学中教学资源的浪费，数学建模教学涉及的学科过多，全部学习显然不现实[6]。计划使教师更合理地安排教学步骤和有效地掌握工作时间。实例合作学习是以学生为主体，围绕一些简化了的实际问题展开，时间跨度大，不确定因素多，计划应更注重教学的可行性和课外学习活动的组织安排。

2．“有效组织”团队学习

组织是对实现目标所需资源的分配与协调。团队学习是指一个单位的集体性学习，便于单位成员之间的互相学习、互相交流、互相启发、共同进步。团队学习依靠的是队员间的深度汇谈。深度汇谈是通过在所有对话者参与的同时，分享所有对话者的意义，从而在群体和个体中获得新的理解和共识的交流活动过程[7]。

团队学习具有两个特征:一是团队目标一致，二是知识共享。为了保障有效的团队学习，教师的教学设计应包括团队的结构、组织政策、发展策略等内容，明确队员的工作责任与工作分工，以利于团队尽早达成一致目标;教师还应在团队合作学习过程中界定真实情况，协助队员对真实情况进行正确、深刻的把握，提高他们对团队的了解能力，促进每个队员的学习;教师还应优化资源配置和创造条件使团队人事和谐。

3．“有效领导”团队学习

领导就是激励人们成为绩效杰出者，就是指导、激励和与个人或群体的沟通。指导老师应该创造和谐、充满激情的工作氛围。有些教师生硬地照搬教科书，学生学习效果并不理想。教师应该在师生之间营造一种互动的教学氛围，充分调动学生的积极性，还应培育队员的集体荣誉感，充分挖掘队员的潜力，从而提升团队学习效果。

4．“有效控制”团队学习

全面的计划、坚实的组织、出色的领导并不能确保成功。成功的管理者，都会对工作实现密切关注。具体的控制活动包括:制订绩效标准使进展指向长期目标，通过收集绩效数据监督个人和组织的工作，提供进展的信息和反馈，通过将绩效数据与标准比较发现问题，采取行动纠正问题。作为团队学习的管理者，教师不仅要对课程有全面深入的理解，还要求教师对团队进行科学引导。否则学生依然会停留在个体学习状态，使团队合作流于形式。

指导教师应及时跟进团队活动。各队长和队员、指导教师和队员之间建立通畅的沟通渠道，除了利用课堂教学，课外还可通过现代化通讯手段使团队和指导教师能够及时处理学习中的问题。

实例小组活动要及时归纳、总结、评价。首先，教师应要求各团队在课前提交实例研究报告，督促学生按时按质地完成实例研究;然后由各队代表在课堂上报告、答疑，培养学生的发散思维和语言表达能力。教师应适当提出一些问题以考查学生对知识点的运用，对团队所作的研究工作及各方面能力进行点评，对提高相关能力给出指导性意见，对各团队研究成果进行等级评定。最后教师将各队报告中的主要数学知识与方法汇总，培养学生科学研究态度与创新意识。

数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活、对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。实例合作学习教学模式是以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。笔者多年来的教学实践表明，将实例合作学习模式应用于数学建模教学，不仅增强了课程的吸引力，调动了学生学习的自觉性，而且拓宽了学生的知识面，提高了学生综合素质、创新意识和团队协作能力。

[1]肖翠娥．数学技术、信息技术与职业技术融合成效及其展望[J]．教育进展，2012(2):1-5．

[2]张立勇，吴建华．工具书应用研究中的实例研究法[J]．高校图书馆工作，1992(4):16-20．

[3]高芹．高师学生合作学习模式探索[J]．现代语文:教学研究版，2007(3):70-80．

[4]姜启源，谢金星，叶俊．数学模型[M]．4版．北京:高等教育出版社，2011:17-18．

[5]孙启伟．德鲁克:有效管理理论[J]．教育，2009(30):38-39．

[6]王梦贤，王扉，夏方礼．大学数学建模有效教学的组织行为[J]．价值工程，2013(1):230-232．

[7]戴维·伯姆．论对话[M]．北京:教育科学出版社，2004:6-8．