基于股本权证定价效果的最优波动率模型选择

张建锋，扈文秀，刁伍钧

（西安理工大学 经济与管理学院，西安710054）

0 引言

研究最优波动率模型选择对准确预测金融资产波动率、提高股本权证定价效果具有重要意义，这也是近20年来金融市场一直重点研究的一项任务。波动率预测模型主要分为三类：第一类是隐含波动率模型（根据期权价格运用BS模型反推得出未来波动率的预测值；第二类是历史波动率模型，利用金融资产中包含的历史信息预测未来波动率，通常用到的有GARCH族模型或SV模型；第三类是已实现波动率模型，通过将某一频率下的日内分时交易数据的收益率平方加总作为波动率的预测值。

本文将利用我国股本权证及其标的市场交易数据，通过样本内估计模型参数，以权证定价效果为基准，将权证的市场价格与模型价格进行比较，对三类波动率模型的预测效果进行样本外检验，选择出符合为我国股本权证定价的最优波动率模型。这一研究结果也适用于可转换债券、经理人股票期权等其他期权类金融衍生品定价。

1 波动率预测模型

1.1 隐含波动率模型

根据Black-Scholes期权定价公式（后文简称为BS公式），t时刻的欧式期权价格是标的资产价格St，行权价格X，无风险利率r，期权到期时间T以及标的资产从t到T期间的波动率σ等五个参数的函数。其中，St，X，r，T均为可观测变量，如果能够从市场上观测到欧式期权市场价格，则可利用BS公式反推出标的资产波动率σ，按此方法估计所得波动率被称为隐含波动率。

这种计算期权隐含波动率的思想同样可以用于估算股本权证定价所需波动率。Galai和Schneller[1]首先考虑了“稀释效应”对股本权证价格的影响，随后，Schultz和Trautmann[2]基于他们1989年的working paper与Crouhy和Galai 1991年的学术论文研究成果，将股本的稀释作用引入BS公式，构建了如下稀释因子调整的BS公式：

W为权证价格，N(·)为标准正态分布的累积概率分布函数，S是标的股票在t时刻的价格，N为标的股票在t时刻的数量，n为发行权证的数量，r为无风险利率，K为权证行权价格，T为权证到期日，σ为标的股票收益率的波动率。

股本权证定价中的隐含波动率就是给定公式（1）中的W值对应的σ值。由于无法通过反解公式（1）来将σ表示成股本权证价格与其他变量的函数，John C.Hull提出了采用迭代的方式来求解隐含波动率的思路，并开发出了计算股本权证隐含波动率的DerivaGem软件，本文在后面的实证分析中将运用该软件预测隐含波动率。

1.2 历史波动率模型

股本权证价格作为一种金融时间序列，其实际分布存在着“尖峰厚尾”特征，且波动性具有明显的聚集性和爆发性。为了消除金融时间序列这种条件异方差性，Engle提出了自回归条件异方差（ARCH(q)）模型，这也是最早运用历史数据估计波动率的模型。Bollerslev和Taylor对该模型做了进一步推广，构建了广义自回归条件异方差（GARCH(p，q)）模型。由于其中的GARCH(1，1)模型随时间变化，模型中的方差率会被拉回到其长期平均水平，即均值回归，使得该模型成为ARCH族模型的代表。

在GARCH(1，1)模型中，定义σn为第n-1天所估计的股本权证标的资产在第n天的波动率，则模型表达式如下：

如果γ，α，β能够被很好估算，就可以用公式（2）进行波动率预测。由于极大似然估计法具有良好的相合性与渐进正态性，在估计GARCH(1，1)模型参数时被广泛应用，Press、Flannery、Teukolsky和Vetterling，Engle和Mezrich均对此进行了证明，论文在实证部分运用Eviews 5.0软件时，也将选用这一估计方法。

1.3 已实现波动率模型

Andersen和Bollerslev[3]首次指出利用日内收益率平方估算的波动率较其它模型具有更好的效果，并将外汇市场288个5分钟间隔收益率平方和定义为汇率的已实现波动率。Koopman、Jungbacker和Hol将上述方法应用于股票市场，定义第n日股票已实现波动率是其隔夜收益率平方加第n日总交易时间以5分钟为间隔的收益率平方和，具体模型为：

其中，Rn,0为股票在交易日n的隔夜收益率；Rn,d为股票在交易日n的第d个5分钟收益率；Pn,d是交易日n第d个5分钟末的股票价格；Pn,0是交易日n的开盘价；Pn-1,D是交易日n-1的收盘价，即第D个5分钟末的股票价格；D是一个完整交易日以5分钟为间隔的总数量。

该模型所有变量值均可由市场观测值计算获得，如果计算日内收益率所选时间间隔适当，就可由公式（3）进行已实现波动率估算。对于时间间隔的最优选择，目前还未形成一致结论，但大多数学者实证分析都选取的是5分钟间隔，少部分学者实证证明了次间隔是最优的。因此，接下来的实证部分本文也选取5分钟时间间隔计算日内收益率。

2 数据选取与模型参数估计

2.1 样本数据选取

沪深交易所上市的权证包括股改、首发和分离交易可转债附带三种发行类别共计55支，其中股改产生的权证属于备兑权证，其余两种类别产生的权证属于股本权证，而首发产生的权证中派发给有限售条件流通股东的那部分由于不能上市交易，所以，能够满足实证分析的样本只能从分离交易可转债所附带的21支权证中选取。根据行权方式，上述21支股本权证包括4支百慕大式和17支欧式，其中百慕大式权证在第一次行权期内几乎没有投资者对其行权，绝大多数都是持有到权证到期日行权，因此，这4支百慕大式股本权证可以被看作欧式股本权证采用稀释因子调整的BS模型进行定价，表1给出了所选样本的基本信息。最终，本文选取2006年12月12日至2011年8月11日对应的21支股本权证日交易数据及其标的股票2004年12月12日至2011年8月11日的日交易与日内5分钟交易数据为研究样本。所有数据均来源于锐思数据库。

2.2 波动率估算

表1 股本权证样本基本信息

（2）历史波动率估算。运用GARCH(1,1)模型时，本文采用样本内数据建立模型对样本外的值进行预测，同时为了提高预测精度，本文采用滚动窗口的估计方法。本文以2006年12月12日上市的钢钒GFC1股本权证为例给出具体估计过程，在估计上市首日波动率时，样本区间为该权证标的股票2004年12月12日到2006年12月11日的日收益率；在估计上市第二日的波动率时，样本区间为标的股票2004年12月13日到2006年12月12日的日收益率，以此类推，就可得到权证有效期内其标的股票每一天的日波动率。根据日波动率与年波动率的转换公式，如公式（4所示），可得到基于BS模型估算每一天权证价格所需的年波动率。

（3）已实现波动率估算。由第t日的日内数据结合公式（3）得到权证标的股票第t日的已实现波动率，再由公式（4）将其转换为年波动率，将此波动率代入稀释因子调整的BS模型可得第t+1日股本权证价格。以此类推，由第t+ 1日的已实现波动率可计算得第t+2日股本权证价格。

2.3 无风险利率

金融资产定价中关于无风险利率的选取通常有三种观点，一是将银行间的半年期同业拆借利率作为无风险利率；二是将短期国债年收益率作为无风险利率；三是将银行一年期存款利率作为无风险利率。现阶段，储蓄、保险和股票是我国城市居民最主要的投资项目，其中百分之九十以上居民首选的投资是储蓄，因此，本文选取银行一年期整存整取利率并转换为连续复利后作为无风险利率，转换公式如下式（5）所示，转换结果如表2所示。

表2 不同阶段连续复利无风险利率

其中r为无风险利率，r0为银行一年期整存整取利率。

3 实证结果

基于稀释因子调整的BS模型，本文将由隐含波动率模型、历史波动率模型和已实现波动率模型作为波动率参数估计模型的股本权证定价模型分别记为BSI,BSH,BSR，根据模型定价结果，结合股本权证的市场日收盘价格可计算得每一模型定价结果的平均相对百分误差（MRPE）与平均绝对百分误差（MAPE）。相应表达式如下：

表3 BSI,BSH,BSR模型定价的平均相对与平均绝对偏差统计结果

由表3可以看出，按平均绝对百分误差（MAPE）判断，基于隐含波动率的BS模型（BSI）对于21支股本权证样本都是最小的，有8支股本权证样本是历史波动率模型（BSH）小于已实现波动率模型（BSR），占总样本比例38%；按平均相对百分误差（MRPE）判断，基于历史波动率的BS模型定价结果对于21支股本权证样本全部出现低估，隐含波动率模型与已实现波动率模型低估的比例分别约为81%和71%，从定价效果来看，隐含波动率模型低估的程度最小。由此可以看出，在我国股本权证市场上，总体而言，基于隐含波动率模型的定价精度最高，其次是已实现波动率模型，最差的是历史波动率模型。就单支股本权证而言，隐含波动率模型最优，已实现波动率模型与历史波动率模型相对绩效不能确定。

4 结论

稀释因子调整的BS模型为股本权证定价，最大困难在于波动率参数的准确估计。本文以沪深交易所上市的21支分离交易可转债所附带的权证及其标的股票为样本，分别运用隐含波动率模型、已实现波动率模型以及历史波动率模型对波动率参数进行了估计，以股本权证市场价格为评价基准，分别测算了基于三个波动率模型的定价结果的平均绝对偏差与平均相对偏差。实证结果表明，基于隐含波动率模型的定价效果最优，已实现波动率模型定价效果略强于历史波动率模型，但是就单支股本权证定价效果而言，二者的相对绩效不稳定。

[1]Crouhy M,Galai D.Common Errors in the Valuation of Warrants and Options on Firms with Warrants[J].Financial Analysts Journal,1991, 47(5).

[2]Schulz,G.U.,S.Trautmann.Robustness of Option-like Warrant Valuation[J].Journal of Banking and Finance,1994,18(1～2).

[3]Andersen,T.G.,T.Bollerslev.Answering the Skeptics:Yes,Standard Volatility Models Do Provide Accurate Forecasts[J].International Economic Review,1998,39(6).