解析矩阵法在全极化综合孔径辐射计中的应用

杨晓城 阎敬业 吴 季

（1.中国科学院空间科学与应用研究中心 中国科学院微波遥感技术重点实验室，北京100190；2.中国科学院大学，北京100049）

引 言

综合孔径微波辐射计和全极化参量微波辐射计是被动微波遥感领域发展的两项新技术［1］，但是目前为止还没有出现将干涉式综合孔径成像技术和全极化参量信息获取结合的一维全极化综合孔径辐射计.全极化综合孔径微波辐射计（Full Polarization Interferometric Radiometer，FPIR）是X波段的一维全极化综合孔径辐射计［2-3］，与电子扫描稀疏阵列辐 射 计［4］（Electronically Scanned Thinned Array Radiometer，ESTAR）等传统的一维综合孔径辐射计相比，优点是全极化信息获取、圆锥面天线波束和两点定标等.FPIR的应用目标之一是搭载在欧空局土壤湿度与海水盐度（Soil Moisture and Ocean Salinity，SMOS）业务卫星上，与综合孔径微波成像仪［5］（Microwave Imaging Radiometer with Aperture Synthesis，MIRAS）一起工作，形成一套双频被动遥感探测系统.FPIR能够测量海面风场和陆地植被信息，提高MIRAS海水盐度和土壤湿度的反演精度.

反演成像是综合孔径辐射计的一项关键内容.综合孔径辐射计的基本构成单元是二元干涉仪，通过不同长度基线的干涉测量结果进行处理从而反演被观测区域的亮度温度分布［6-7］.在综合孔径辐射计中，反演算法包括傅里叶变换法和G矩阵模型法［8］，以及一些其他算法［9］.其中G矩阵模型法将亮温图像反演与误差定标相结合，得到广泛应用，但是，这些反演算法都存在着较大的反演误差.为了降低图像反演误差，本文介绍了一种解析矩阵法，并针对于FPIR系统，进行了简化.

1 理论分析

1.1 FPIR系统的成像原理

FPIR的两单元原理框图如图1所示.在顺轨方向，天线方向图为真实孔径线阵形成的窄波束；在交轨方向，天线方向图由通常的扇形变成圆锥面，每个像素的入射角α相同.

图1 FPIR系统的两单元原理框图

复可视度函数Vpq（uij）与地物辐射亮温Tb（ξ）之间存在如下关系［4，10］：

式中：p、q表示极化，p和q可取H或者V；δpq为冲激函数，当p与q相同时δpq＝1，当p与q不同时δpq＝0；uij＝dij／λ0为天线i和j之间归一化的基线长度；ξ＝sinθsinφ为方向余弦，θ和φ为球面坐标；f0为中心频率；Tr为接收机的物理温度；（ξ）和（ξ）分别为p极化的天线单元i和q极化的天线单元j所对应的归一化的电压方向图，＊表示共轭；（Δτ）称为条纹洗涤（fringe washing）函数，它取决于辐射信号到达两天线的时间差Δτ和信道的归一化频率响应.在信道带宽足够小时，（Δτ）≈1.为了简化，令ζ＝ξ／sinθ＝sinφ，则式（1）变为

综合孔径辐射计在空间频率域实现有限的采样覆盖，有限的频率覆盖区间用E表示.设定地物亮温的工作空间为B，地物亮温频谱的工作空间为β，则修正的辐射亮温在空间B内，T（ζ）的频谱H（uij）在空间β内.设定Γ为H（uij）在频率覆盖区间E内的值，属于工作区间α，对应的亮温工作空间为ε.空间ε为B的子空间，空间α为β的子空间.空间频率uij在空间频率域的范围为χ＝｛uij：1≤i，j≤l｝，其中l为辐射计的天线单元的数量.χ中空间频率可能是冗余的，即两对天线对应同一个空间频率.根据式（2），设定区间C为共轭对称的复可视度函数Vpq（uij）所在的工作区间.下面介绍一些重要的运算符：

U表示离散傅里叶变换：

Z表示补零运算符：

G表示从地物亮温到复可视度函数之间的建模运算符：

1.2 简化的解析矩阵

将式（2）进行离散化得到

式中：修正的辐射亮温T（ζ）被离散为M项；可视度函数Vpq（uij）被离散化为2 N＋l项.通常情况下选取的亮温反演点数M大于可视度函数采样点数2 N＋1，所以，式（3）是欠定的，有多个解.根据最小平方准则

因为方阵GHG（GH表示G的转置复共轭矩阵，即希尔伯特伴随矩阵）是奇异的，所以标准方程GHGT＝GHV的解不是唯一的.根据Hadamard定义，式（3）是病态的.

对于式（3）这种病态的方程，一种解法就是根据穆尔-彭罗斯（More-Penrose）广义逆算法求解其最小范数解，得

另一种解法是简化解析矩阵法.简化解析矩阵法是基于E.Anterrieu等人提出的算法［11］，将其进行简化，并应用到FPIR系统反演中.式（3）之所以是病态的，是因为综合孔径辐射计在空间频率域中只能实现有限的采样覆盖，即缺乏频率覆盖区间E以外的频率部分.所以式（4）的求解可以看作是在限定条件下求最小平方解的问题，即

限定条件是

式中PE＝UHZZHU是投影到工作区间ε的投影运算符.用Γ表示T的频谱中在工作区间E以内的部分，则式（7）可以表示为UT＝ZΓ.将式T＝UHZΓ代入到式（6）中，可得

式中A＝GUHZ.因为正规化后方阵AHA是非奇异的，所以标准方程AHAΓ＝AHV的解是唯一的，得Γ＝（AHA）-1AHV.因此，反演亮温变为

式中A＋＝（AHA）-1AH为矩阵A的广义逆矩阵，也被称作为解析矩阵.

在E.Anterrieu等人提出的算法中，应用于MIRAS的解析矩阵为A＋＝（AHA）-1AH，其中A＝GUHZ，U为对六边形的采样网格进行计算的离散傅里叶变换，G矩阵为对大型的Y型阵列的二维综合孔径辐射计系统进行建模的运算符.只考虎独立基线，当只考虑独立基线时，矩阵A由长方阵变成方阵.而应用于FPIR的简化的解析矩阵为A＋＝（AHA）-1AH＝A-1，其中A＝GUHZ，U为简单的一维离散傅里叶变换，G矩阵为基于式（2）对天线单元数少、结构简单的FPIR进行建模的运算符.当只考虑独立基线时，矩阵A由长方阵变成方阵.所以，应用于FPIR的解析矩阵法被称作为简化解析矩阵法.简化解析矩阵法也可以应用于其他一维综合孔径成像中，但应用于FPIR系统中可以实现全极化信息的反演.

为了降低空间频率上有限的采样覆盖所导致的吉布斯振荡现象，可以利用特定的窗函数对可视度采样进行加窗平滑来削弱，即

值得注意的是，在分析反演结果与真实图像的误差时，需要将加窗后的反演图像与真实图像加窗后的结果Tw＝UHWUT进行比较.常用的窗函数有：汉明窗、汉宁窗、布莱克曼窗、契比雪夫窗等.

为了定量地分析加窗后成像结果与原始图像的误差ΔTw＝Tw-，引入平均误差和标准差.平均误差和标准差的计算公式分别为：

2 实验结果分析

原始亮温图像如图2所示，为大气顶亮温，即天线平面内亮温，来源为中国山东半岛地区的光学遥感图像，图像分辨率大小为251×251像素.采用一维综合孔径体制时，单次测量可获得视场内的一个条带的图像.当卫星平台运动时，实现对地物目标的推扫成像，从而获得二维图像.图2中，水平方向为综合孔径方向，垂直方向为真实孔径方向.

选择仿真对象为FPIR系统工作在H极化状态，天线单元数量l＝9，最短基线为Δd＝0.635λ0，最长基线为25Δd，忽略空间去相关效应的影响.单元天线在综合孔径方向为宽波束，在暗室中对FPIR系统的9根H极化单元天线测量得到的E面天线方向图如图3所示.可视度采样点数为2 N＋1＝51，亮温图像的采样点数为M＝251，所以矩阵G和A的大小分别为51×251和51×51，证明了式（3）是欠定的，而经过正规化后式（8）是适定的.

利用G矩阵模型法、简化解析矩阵法得到了其对应的无混叠视场内反演的结果，如图4（c）和4（e）所示.为了削弱吉布斯振荡，利用汉宁窗对可视度采样结果进行加权处理，得到加窗后无混叠视场内的反演结果，如图4（d）和4（f）所示.为了便于比较，无混叠视场内原始图像和加窗后结果如图4（a）和4（b）所示.

图2 原始亮温图像（亮温／K）

图3 综合孔径方向单元天线方向图

图4 反演结果（亮温／K）

反演结果的平均误差和标准差对比结果如图5、6所示.图中横轴为FPIR顺轨推扫时顺序观测的条带编号，纵轴分别为两种反演方法得到的平均误差和标准差.从两图可以看出，简化解析矩阵法比传统的G矩阵模型法成像效果更好，能有效地去除残留的图像反演误差.值得注意的是，反演算法误差与地物目标的特征相关，随着观测目标的变化，反演误差也产生相应的变化.图中真实孔径方向推扫的条带100出现很大的起伏，这是因为图像中第100行中亮温较高，且起伏比较大，证明图像反演残留误差与原始亮温图像有关.

图5 平均误差对比

图6 标准差对比

3 结 论

反演成像是综合孔径辐射计的一项关键内容.因为辐射计干涉输出的结果是可视度函数采样，不是地物目标的直接辐射信息，所以如何准确有效地从可视度函数的采样数据转化到其空间域的辐射图像，是成像反演算法所要解决的问题，也是综合孔径辐射计测量的最终目标.但由于反演方程是欠定的，不能提供一个确定解，所以存在图像反演误差.

FPIR是一套高分辨率、轻量化、低功耗的X波段一维综合孔径微波辐射计.它与传统一维综合孔径辐射计的不同之处在于全极化信息获取、圆锥面天线波束和两点定标等.本文介绍了一种解析矩阵法，针对于FPIR系统，进行了简化.仿真结果表明简化解析矩阵法成像结果明显优于传统的G矩阵模型法，能够有效去除传统的G矩阵模型法残留的图像反演误差.这证明了简化解析矩阵法在FPIR中应用的有效性，为FPIR原理样机的地面成像测试奠定了基础.

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