抽象n维列向量演绎

张 慧

(陕西科技大学 理学院， 陕西 西安 710021)

0 引言

线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要作用，因而它在各种代数分支中占据首要地位.在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论基础和算法基础的一部分[1].向量、向量组、方阵的特征值、特征向量理论及方阵的相似对角化问题，是线性代数研究的核心内容，这些内容不仅在数学本身的研究中具有重要的作用，在其它的许多科学领域中也有重要的作用.例如：在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行DNA序列对比时就用到了矩阵的相似概念[2]；在结构动力学中，实施损伤检测时，对含微小损伤的结构，如可在已完成的对完好结构的分析基础上，使用特征值摄动法完成快速重分析，就能避免完全重分析的巨大计算[3].此类例子，枚不胜举.

向量是线性代数中最基本也是最重要的概念，很多学者都非常关注其发展和应用.例如：文献[4]就研究了列向量组的角条件数；文献[5]研究了向量学习中数学美的展现(注：该文中虽然有点儿计算错误，但属于瑕疵，作者的出发点是好的，思想方法是完全正确的，论理论据充分，可谓瑕不掩瑜).本文在实数范围内，利用线性代数理论研究抽象n维列向量.证明全体n维列向量构成一个向量空间；研究由抽象的n维列向量α所派生出的矩阵αTα、ααT的特性以及方阵ααT的行列式、特征值、特征向量和对角化问题；展示了将抽象的n阶方阵ααT对角化的全过程，所得的部分结论可以作为公式使用.

1 基本概念与重要结论

抽象n维列向量，是指形如(a1,a2,…,an)T这样的向量，其中a1,a2,…,an都是常数，但是不给具体赋值.当a1,a2,…,an都是实常数时，称(a1,a2,…,an)T为实向量，本文只讨论实向量.记(a1,a2,…,an)T为α，即α=(a1,a2,…,an)T.当a1=a2=…=an=0时，α=(a1,a2,…,an)T为零向量，零向量的范数为0，即‖α‖=0.当a1,a2,…,an不全为0时，α=(a1,a2,…,an)T为非零向量. 非零向量的范数大于0 ，即

特别地，当‖α‖=1时，称α为单位向量， 此时有αTα=1.对于任意n维列向量α，有

αTα=(a1,a2,…,an)(a1,a2,…,an)T

备用性质1 实对称矩阵的特征值为实数；实对称矩阵一定正交相似于对角阵，即实对称矩阵一定能对角化.换句话说，对于n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得

Q-1AQ=QTAQ=Λ

若记n阶方阵A的全部特征值为λ1,λ2,…,λn，则Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),且λ1,λ2,…,λn中非零数字的个数等于R(A)(矩阵A的秩)[6].

备用性质2[6]若n阶方阵A=(aij)n×n的特征值为λ1,λ2,…,λn，则 (1)λ1λ2…λn=|A|；

(2)λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann.

2 全体n维列向量构成一个向量空间[7]

记全体n维列向量所构成的集合为V,任取α,β∈V,不妨设

α=(a1,a2,…,an)T，β=(b1,b2,…,bn)T，

则有α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)T∈V,设k为任意实数，还有kα=(ka1,ka2,…,kan)T∈V，这就是说，集合V对于向量的加法以及数乘法封闭，因此集合V是一个向量空间，其维数为n，向量组

是它的一个基.

3 研究矩阵ααT

3.1 ααT为n阶方阵

ααT=(a1,a2,…,an)T(a1,a2,…,an)

这是一个n阶实对称矩阵. 当然通过直接验算：(ααT)T=(αT)TαT=ααT.也可得到ααT为实对称矩阵的结论.

3.2 ααT的行列式

ααT的行列式为n阶行列式.

·(a2-a1)(a3-a1)…(an-a1)

=0(根据行列式的性质：如果行列式有两行完全相同，则此行列式等于零)

3.3 ααT的特征多项式、特征值及特征向量

(1)ααT的特征多项式与特征值[8]

所以R(ααT)=1.根据备用性质1得：ααT只有一个非零特征值，那么其余(n-1)个特征值都是0.记ααT的特征值为λ1,λ2,…,λn,则有λ1=λ2=…=λn-1=0；根据备用性质2, 得：

(2)ααT的特征向量

旅游者到一个景点旅游90%以上都是第一次游览，对景点、景区的环境不熟悉会导致旅游人群发生各种状况，如：哪个区域存在安全隐患、到达某目的地应该怎么走更快捷、游客因突发事件想投诉要如何处理、寻找同伴或家人该怎么办等出现诸多问题；其中游客中也会有特殊人群（残疾人士、老人、小孩等），志愿者在服务工作中，就应主动引导游客如何游玩景点、景区，如何方便地走特殊人群通道等，这些都属于旅游类志愿者的工作范畴内。

对于λ=0，解方程(ααT)X=0.由于

与之对应的同解方程(组)为

a1x1+a2x2+…+anxn=0

因为R(ααT)=1，所以基础解系含有n-1个解向量. 将同解方程(组)改写为

x2=x2

x3=x3

xn-1=xn-1

xn=xn

易知对应的特征向量可取为

(此结论可被作为公式使用)

对应于λ=0的全部特征向量为

k1p1+k2p2+k3p3+…+kn-1pn-1

其中k1,k2,k3,…,kn-1∈R,且不同时为零.

xn=xn

可见n阶方阵ααT有n个线性无关的特征向量p1,p2,…,pn-1,pn.所以ααT可相似对角化.实际上，存在n阶可逆矩阵

利用施密特(Schimidt)方法[6]，将特征向量组p1,p2,…,pn正交化，取

β1=p1=(-a2,a1,0,…,0,0)T，

3.3.2α=(a1,a2,…,an)T且a1,a2,…,an中至少有一个等于零，但不全为零

此时，a1,a2,…,an中至少有一个不等于零.容易验证，当ai=0,(i=1,2,…,n中某个数)时，实对称矩阵ααT的第i行和第i列的元素全为0，那么必有|ααT|=0，仍然有R(ααT)=1；在求ααT的特征多项式、特征值和特征向量时，仍然可以用3.3.1中的方法，只不过要对第i行和第i列的元素做特殊处理，所得结论也具有3.3.1中结论的形式；也可用遗传解法求解[9].

4 与ααT有关的问题

例1 设α是n维列向量，λ为任意实数. 证明矩阵E-λααT为对称矩阵.

证 因为ααT是对称矩阵，

(E-λααT)T=ET-λ(ααT)T=E-λααT

所以E-λααT为对称矩阵.

例2 设α是n维单位列向量，证明：

(1)矩阵A=E-ααT是幂等矩阵，也是不可逆矩阵.

(2)矩阵H=E-2ααT是n阶对称正交矩阵.

证(1) 因为α是n维单位列向量，所以

αTα=1,ααT≠0

A2=(E-ααT)(E-ααT)

=E-2ααT+α(αTα)αT

=E-2ααT+ααT=E-ααT=A

故A=E-ααT是幂等矩阵. 幂等矩阵具有很好的性质[10].

假若A可逆，则

A-E=A-1A(A-E)=A-1(A2-A)≡O

这与题设A=E-ααT即A-E=-ααT矛盾,因此A是不可逆矩阵.

证(2) 因为ααT为实对称矩阵，所以

HT=(E-2ααT)T=ET-2(ααT)T

=E-2ααT=H

可见H为对称矩阵.

参见例1，令其中的λ=2，也可得到H为对称矩阵的结论.

又因为α是n维单位列向量，αTα=1

HTH=H2=(E-2ααT)2

=E2-4EααT+4α(αTα)αT

=E2-4ααT+4ααT=E

所以H为正交矩阵.

这就证明了H=E-2ααT是n阶对称正交矩阵. 正交矩阵具有很好的性质和应用[6].

容易验证：当m是正偶数时，Hm=E；当m是正奇数时，Hm=H,不妨称H为狭义幂等矩阵.

例3 设α是n维单位列向量，k为实数，n阶方阵H=E-kααT，研究:

(1)当k为何值时，H为可逆矩阵；

(2)当k为何值时，H为正定矩阵.

研究：

(1)因为α是n维单位列向量，

所以存在正交矩阵Q，使得

QT(ααT)Q=diag(0,0,…,0,1)=Λ,

QTHQ=QT(E-kααT)Q

=QTEQ-kQT(ααT)Q=E-kΛ

=diag(1,1,…,1-k)

|H|=|QTHQ|=|E-kΛ|=1-k

因此，当1-k=0，即k=1时，H不可逆；当1-k≠0，即k≠1时，H可逆.

(2)因为H=E-kααT是实对称矩阵，根据定理：n阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的各阶主子式都大于0，所以H为正定矩阵的充要条件是1-k>0，即k<1.

[1] 杨文泉，韩 红.线性代数多媒体教学的探究[J].科技信息，2010，20(20)：536.

[2] 苏 雷.线性代数在生活中的实际应用[EB/OL].http://wenku.baidu.com/view/c6158e0c79563clec5da71b.html, 2012-09-26.

[3] 余 龙，姜节胜.特征值摄动法在利用动响应结构小损伤检测中的应用[J].应用力学学报，2006，23(2):255-258.

[4] 曾宪雯.列向量组的角条件数[J].东北师范大学学报(自然科学版),2009，41(4):39-41.

[5] 肖岸纯.向量学习中数学美的展现[J].高等数学研究，2010,13(2):56-58.

[6] 同济大学数学系.线性代数[M]. 北京:高等教育出版社，2010.

[7] 张小向，陈建龙.线性代数学习指导[M].北京:科学出版社，2010.

[8] 马志敏，张华龙，濮燕敏.线性代数辅导与习题全解[M].广东:中山大学出版社，2004:206-208.

[9] 李 琪，李大可，杨 威.一种实对称矩阵特征值的遗传解法[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2008，36(专辑)，1-3.

[10] 张 慧.对幂等矩阵的研究[J].陕西科技大学学报(自然科学版)，2012，30(6):139-142.