数学高考中合情推理的类型评析

　　合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括经验和实践的结果），以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.这种推理的途径是从观察、实验入手，凭数学直觉，通过类比而产生联想、归纳而提出猜想.归纳推理和类比推理是合情推理常用的思维方法.近年的高考明显加大了这方面的考查力度.
　　归纳推理是常考类型，而类比推理作为考查学生学习潜能的重要阵地，近年成为考试命题的热点，往往被设计为填空题或者选择题的压轴题目，不仅有概念与性质层面的类比，而且有过程与方法的类比.下面对合情推理在高考中的类型进行归纳和评析.
　　一、 归纳推理由特殊到一般
　　例1.设函数f（x）=（x＞0），观察:
　　f（x）=f（x）=，
　　f（x）=f（f（x））=，
　　f（x）=f（f（x））=，
　　f（x）=f（f（x））=，
　　……
　　根据以上事实，由归纳推理可得：
　　当n∈N且n≥2时，f（x）=f（f（x））= ?
　　答案：.
　　例2.观察下列等式
　　1=1
　　2+3+4=9
　　3+4+5+6+7=25
　　4+5+6+7+8+9+10=49
　　……
　　照此规律，第n个等式为 ?
　　答案：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）.
　　评析：以上两题的难度不大，此类问题重在考查学生的观察能力和归纳推理能力.可利用归纳推理直接从已知的几个特殊情况归纳出一般情况，达到解题的目的.这种归纳推理考查了学生的推理论证能力.
　　合情推理中的类比推理指的是依据两个数学对象的已知相似性，把其中一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去获得后一个数学对象的性质的一种方法，是特殊到特殊的推理.在数学中常用的类比形式有：“数”与“形”的类比；平面与空间的类比；高维与低维的类比；有限与无限的类比；解题方法的类比，等等.
　　二、类比联想与合情推理
　　例3.在等差数列{a}中，若a=0，则有等式a+a+…+a=a+a+…+a（n<19，n∈N）成立，类比上述性质，相应的，在等比数列{b}中，若b=1，则有等式 成立.
　　解析：本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列用减法定义，性质用加法表述（若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则a+a=a+a）；等比数列用除法定义，性质用乘法表述（若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则a•a=a•a）.
　　由此，猜测本题的答案为：bb…b=bb…b（n<17，n∈N）.事实上，该性质可证.
　　评析：本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力和抽象概括能力，考查运用类比的思想方法，由等差数列{a}而得到等比数列{b}的新的一般性的结论.
　　例4.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB+AC=BC.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则 ?”
　　解析：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体与多边形；面与边；体积与面积；二面角与平面角；面积与线段长 ……由此，可类比推测本题的答案： S+SS=S.
　　评析：本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，因此平时教学与复习中要注意类比等思想方法的学习，更要注意研究性学习在数学中的适时切入.
　　三、方法类比提升推理层次
　　例5.在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和.例如：已知数列{a}的通项为a=，则a=-，故数列{a}的前n项和S=（1-）+（-）+…+（-）=1-=.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列.在斐波那契数列{a}中，a=1，a=1，a=a+a（n∈N），若已知a=a，那么数列{a}的前2011项和是 ?
　　解析： S=a+a+a+…+a+a=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）=a-a=a-1.
　　例6.已知数列{a}的通项为a=（2n-1）•2，求其前n项和为S时，我们用错位相减法，即由S=1•2+3•2+5•2+…+（2n-1）•2得2S=1•2+3•2+5•2+…+（2n-1）•2，两式相减得-S=2+2•2+2•2+…+2•2-（2n-1）•2求出S=（2n-3）•2+6，类比推广以上方法，若数列{b}的通项为b=n•2，则其前n项和为T= ?
　　解析：
　　∵T=1•2+2•2+…+（n-1）•2+n•2
　　∴2T=1•2+2•2+…+（n-1）•2+n•2
　　∴-T=2+3•2+5•2+…+（2n-1）•2-n•2
　　=（2n-3）•2+6- n•2
　　故T=（n-2n+3）•2-6.
　　综上所述，合情推理这类试题考查了学生分析、解决问题的能力，要求学生有一定的创新能力，能利用已学过的知识，在新的环境下独立获得新的知识结论.因此教学中要引导学生的思维向深度、广度拓展，掌握猜测归纳推理数学规律的方法，养成“观察—归纳（类比）—猜想—论证”的思维习惯，从而提高数学素养.