三角函数证明不等式集锦

　　不等式不仅出现在中学数学各个分支中，而且在以后的继续教育中也会频频露面，它的应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用，所以在中学阶段，学生掌握不等式是十分必要的.而不等式的证明，方法灵活多样，还与很多内容相联系。它既是中学数学教学中的难点，又是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点。因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理，非常讲究恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错.本文通过实例利用三角函数归结了一些不等式的证明的方法与技巧.
　　一、如果条件中有a+b=1，且a，b∈R，可作三角代换a=cosα，b=sinα.
　　例1.已知：a，b∈R，且a+b=1，求证：（a+）+（b+）≥.
　　证明：令a=cosα，b=sinα，则（a+）+（b+）=（cosα+）+（sinα+）≥（sinα+cosα++）=（1+）≥
　　二、如果条件中有a+b=r，可作三角代换a=rcosα，b=rsinα.
　　例2.已知：x+y=3，a+b=4（x、y、a、b∈R），求证：|ax+by|≤ 2.
　　证明：设x=sinα，y=cosα，a=2sinβ，b=2cosβ，则
　　|ax+by|=|2sinαsinβ+2cosαcosβ|=2|cos（α-β）|≤2
　　三、如果条件中有a+b≤r（r＞0），可作三角代换a=tcosα，b=tsinα（|t|≤r）.
　　例3.已知：1≤x+y≤2，求证：≤x-xy+y≤3.
　　证明：设x=rcosα，y=rsinα，1≤|r|≤，则
　　x-xy+y=rcosα-rsinαcosα+rsinα=r-rsinαcosα=r（1-sin2α）≤r（1+）≤3
　　又x-xy+y=r（1-sin2α）≥r（1-）=，故：≤x-xy+y≤3.
　　四、如果条件中有a-b=1，且a，b∈R，可作三角代换a=secθ， b=tanθ（0＜θ＜）.
　　例4.已知:a＞1，b＞0，a-b=1，求证:0＜（-）（+）＜1.
　　解析:由于a＞1，b＞0，a-b=1，并且不等式中有，，因此我们联想三角函数的平方关系:secθ-tanθ=1.经过对比，发现a相当于secθ，b相当于tanθ，因而可令：
　　a=secθ，b=tanθ（0＜θ＜）.
　　证明:令a=secθ，b=tanθ（0＜θ＜），则
　　（-）（+）=••=sinθ＜1，故：0＜（-）（+）＜1
　　五、如果条件中有a-b=1，可作三角代换a=secα，b=tanα（α≠kπ+，k∈Z）.
　　例5.已知x-y=1，求证：（x-）（y+）＜1.
　　证明：设x=secα，y=tanα（α≠kπ+，k∈Z），则
　　（x-）（y+）=（secα-cosα）（tanα+cotα）cosα==|sinα|＜1.
　　六、如果条件中有xy=1，则可作三角代换x=tanα，y=cotα.
　　例6.在R中，xy=1，求证：（y-x）≤1.
　　证明：设x=tanα，y=cotα，且tanα＞0，cotα＞0，则
　　（y-x）=2cot2α=2cot2α•sinα•cosα=cos2α≤1.
　　七、利用tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，（A+B+C=kπ）.
　　例7.（1995数学冬令营试题5）设x＞0，i=1，2，…，n，且x+…+x=1，求证：1≤≤.
　　证明：第一不等式用算术平均不等式：≤
　　1）∵•=≤==1
　　∴≥x=1
　　关于第二不等式证明：令θ;sinθ=x+…+x，0＜θ＜，i=1，2，…，n，θ=0.
　　故：θ=0＜θ＜θ＜…＜θ＜θ=.
　　2）∵==
　　∵＞θ，y=cosθ在θ∈（0，）上单调递减，
　　∴＜2sin，
　　又∵sinα＜α，α∈（0，），∴2sin＜θ-θ，
　　∴≤（θ-θ）=θ-θ=.
　　故： 原式成立.
　　八．随题应变.依据已知条件适当转化、变形，由形定法.
　　例8.（北京IMO集训班试题，1990） 求满足方程组y=4x-3xz=4y-3yx=4z-3z的实数（x，y，z）.
　　解析：由每个方程的形式联想三倍角的余弦式，故用三角法.
　　解：首先证明，|x|≤1，否则|x|＞1，则由y=x（4x-3）推出|y|＞ |x|
　　同理：|z|＞|y|，|x|＞|z|矛盾，因此，设x=cosθ，0≤θ≤π
　　则y=4cosθ-3cosθ=cos3θ，z=cos9θ，x=cos27θ.∴θ是方程cosθ-cos27θ=0的解.即θ满足sin13θ•sin14θ=0.∴θ在［０，π］上有27个解，即θ=π，k=0，1，2，…，13.
　　∴（x，y，z）=（cosθ，cos3θ，cos9θ）.其中θ=或，k=0，1，2，…，1