例谈数学问题中主元的确立

　　数字和若干字母的有限次乘法运算式中表示变量的字母称元，而对“元”的研究便成了数学研究的重要内容.本文旨在举证“元”的确立对问题的解决的点睛意义.
　　1.换元
　　把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，改变代数结构，保留其基本性质，从而使问题得到简化，这叫换元法.简单地说，也许这个问题就是“化简为繁”而得到的，就是通过换元找到这个问题的前身，即确立该问题最原始的主元.
　　例1：已知f（x-2）=x，x∈R，求f（x）.
　　前身：f（t）=（t+2）.解法很机械，令t=x-2，则x=t+2，故f（t）=（t+2）.
　　再如sin（x+）=，求sin（2x+）的值.
　　事实上，令t=x+，则x=t-，则sin（2x+）=sin［2（t-）+］=sin（2t-）=-cos2t=2sint-1，问题即“sint=，求2sint-1的值”.
　　很明显，其实这里只不过是复合函数定义的回归而已，当然很有可能进行的是不等价转化，如f（）=x与f（t）=t不是完全的等价转换.
　　熟悉的问题有“求y=的值域”，“解不等式2-2-3≥0”等.
　　2.转移
　　一般是指含参数的函数问题，若以当前的主元为主元对问题的解决较复杂，可以考虑对该问题中参数的变化情况加以分析、解决.
　　例2：求y=的值域.
　　表面上看，本题并无参数，从函数定义分析，即可得到函数即x到y的一种对应，而方程yx-x+2y=0亦可体现原函数所应有的对应，则在方程中yx-x+2y=0，相对于x，y即为参数，问题即转化为“ax-x+2a=0有解，求a的取值范围.”当然，含参数方程有解问题，有几个解的问题，亦可转化为函数求值域问题，以及求出各个单调区间上的值域进行取交集的问题.这种等价性是由于函数解析式本来就是方程.如“（12北约联考）求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在［0，π）内有唯一解的a”，“若方程ax+2（a-2）x+a-1=0中的a为正整数，当a取何值时，此方程至少有一个整数解”等.
　　再如（06上海高考）：当k＞2时，求证：在区间［-1，5］上，y=kx+3k的图像位于函数f（x）=|x-4x-5|图像的上方.
　　思路1：已知kx+3k＞|x-4x-5|在x∈［-1，5］上恒成立，求k的取值范围.设求得k的取值集合为A，即证（2，+∞）?哿A.
　　思路2：已知kx+3k＞|x-4x-5|在k＞2上恒成立，求x的取值范围.设求得x的取值集合为B，即证［-1，5］?哿B.
　　事实上，相对于主元x，k是参数，若以参数k为主元，原主元x也就是参数了.
　　思路3：双管齐下.解法如下：当x∈［-1，5］时，f（x）=-x+4x+5.
　　由y=k（x+3），y=-x+4x+5，得x+（k-4）x+（3k-5）=0，
　　令Δ=（k-4）-4（3k-5）=0，解得k=2或k=18.
　　在区间［-1，5］上，当k=2时，y=2（x+3）的图像与函数f（x）的图像只交于一点（1，8）；当k=18时，y=18（x+3）的图像与函数f（x）的图像没有交点.
　　由于直线y=kx+3k过点（-3，0），当k＞2时，直线y=kx+3k是由直线y=2（x+3）绕点（-3，0）逆时针方向旋转得到的.因此，在区间［-1，5］上，y=kx+3k的图像位于函数f（x）图像的上方.
　　诚如思路3，“函数f（x）=x+2x+1，存在实数t，使得f（x+t）≤2x对于x∈［2，m］恒成立，求实数m的最大值”.x，t，m三个未知数，需先以t为主元，这里t的变化使得f（x）的图像在x轴上的平移滑动，再以x为主元，考察x∈［2，m］时y=f（x+t）与y=2x图像的位置关系，逐个除去变量，凸现参变量m为最终目标.
　　3.构造
　　（1）建模
　　主要指数学建模，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，而这里是指通过把实际对象的变化表述为数学变量即主元的变化，从而达到研究并解决问题的目的.相对于实际问题来讲，数学模型即是构造.
　　例3（08江苏）：某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO.设排污管道的总长为ykm.
　　（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
　　①设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
　　②设OP=x（km），将y表示成x的函数关系式.
　　（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短.
　　题目很详细地确立了两个主元∠BAO，OP，但主元未必非得二选一，任何对y产生影响的变量皆可为主元，如∠BOA，O到AB的距离等，只是在选择的时候应该从简，本题在2008年高考后，风靡了好一阵子.
　　（2）化归
　　将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B达到解决问题A的方法即为化归.这里指多元问题化归为一元问题，因为我们擅长解决只含一元的数学问题，即需要我们来构造主元来替代原问题中多元的变化.
　　例4（07宁夏、海南）：已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的最小值.
　　分析：六个元a，b，c，d，x，y阵容可谓震撼，但a+b=x+y，cd=xy，故四元函数式可化为主元为x，y的二元函数f（x，y）=，表面上仍不足以解决其最小值，而事实上分子、分母为齐次式，亦即f（x，y）==++2，主元只是t=＞0而已.
　　再如：已知a＞b＞c，求使不等式+≥恒成立的n最大值.
　　设a-b=m＞0，b-c=n＞0，则a-c=m+n，原问题即“已知m＞0，n＞0，求使不等式（m+n）（+）≥n恒成立的n最大值”.
　　构造不一定是无中生有，只不过有的经过“化简为繁”面目全非，需要重新构造化归还原为原来的简单问题.如曲线的参数方程，选用第三个变量作为主元，把二元x，y的关系式转化为以参数为主元的两个函数式.特别地，在解决f（x，y）的最值问题，格外有效，如“已知x+y=1，求z=x+y的最值”，只要令x=cosθ，y=sinθ即可迅速解决.
　　（3）极限
　　函数的连续性、导数，以及定积分等都是借助于极限来定义的.我们知道f（x）在x=x处的切线的斜率即f（x）在x=x处的导数值，这里就是构造一个主元Δx，通过研究Δx→0时的极限值表达了切线斜率的定义.换句话说，把原主元x作为参数，重新构造一个主元Δx，研究Δx无限接近某一个值时，以Δx为主元的函数g（x，Δx）的极限值仍为含参数（原主元x）的表达式f′（x），并通过研究新函数f′（x）性质达到对应原函数f（x）的性质的目的.
　　例5：f（x）=f（0）=1，f（2x）-f（x）=x，求f（x）.
　　很显然，待定系数法设出二次函数f（x）=ax+bx+c不是严格的.
　　而我们知道，以x为主元的函数f（x）的极限值即为函数值 f（0），而如果没有解析式，无果.故可考虑重新构造主元n，而x为参数，例解如下.
　　解：由f（2x）-f（x）=x，可得
　　f（x）-f（）=，f（）-f（）=，…f（）-f（）=，
　　累加可得f（x）-f（）=++…+=x=（1-），
　　即f（x）=f（）+（1-），则f（x）=f（）+（1-）=f（0）+=+1.
　　再如：（06清华自招）已知函数f（x）满足：对任意实数a，b有f（ab）=af（b）+bf（a），且|f（x）|≤1，求证：f（x）恒为0.
　　思路1：令a=b=x，则f（x）=2xf（x），归纳可得f（x）=nx f（x），即f（x）=，
　　当|x|＞1时，f（x）==0；
　　当|x|＜1时，由f（1）=f（x•）=xf（）+f（x），且易知f（1）= f（-1）=0，又|x|＞1时，f（x）=0，此时＞1，则f（）=0，故可得到 |x|＜1时，f（x）=0.
　　思路2：设b=x，以a为主元.由f（ax）=af（x）+xf（a）可得=-，
　　则=-=0.
　　主元的确立应为解决数学问题的核心目标，只有精确地找准主元，才能更高效、更本质地运用数学方法解决问题，通过本文的例证，笔者相信“确立主元”也将被定为数学思想之