二次函数在高中数学中的应用

　　摘 要：二次函数是贯穿初中和高中数学课程的一种很重要的函数，不管在代数中，还是解析几何中，利用此函数的机会都特别多；同时各种数学思想如函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，利用二次函数作为载体，展现得最为充分.尤其是在高中阶段，有基本函数、不等式、数列、导数等部分的基础内容.本文通过对二次函数在不等式，数列，导数，解析几何中的应用来说明二次函数作为高考的重点及其难点始终是高中教学的重点，因此对于二次函数的应用的研究对于高中阶段教学有重要的意义.
　　关键词： 二次函数 不等式 数列 导数 解析几何
　　
　　一、二次函数定义的理解
　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），与二次函数在初中阶段理解的不同，高中阶段的二次函数在集合和映射的基础之上进行认识理解的，主要以映射的知识重新认识了函数的定义：二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f:A→B使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记作：f（x）=ax+bx+c（a≠0），这里面的这里ax+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.
　　二、二次函数的单调性，最值，图像
　　将一元二次函数配方得：y=ax+bx+c=a（x+）+，顶点坐标为（-，），对称轴是x=-.
　　（1）当a＞0时，函数在区间（-∞，-）上是减函数，在区间（-，+∞）上是增函数，函数图像开口朝上，f（x）=，无最大值.
　　（2）当a＜0时，函数在区间（-∞，-）是增函数，在区间（-，+∞）上是减函数，函数图像开口朝下，f（x）=，无最小值.
　　三、二次函数在不等式中的应用
　　由二次函数的图像可知：若一元二次方程ax+bx+c=0有2个不相等的实数根x，x（x＜x），则
　　当a＞0时，不等式ax+bx+c＞0的解集为{x|x＞x或x＜x}，
　　不等式ax+bx+c＜0的解集为{x|x＜x＜x};
　　当a＜0时，不等式ax+bx+c＞0的解集为{x|x＜x＜x}，
　　不等式ax+bx+c＜0的解集为{x|x＞x或x＜x}.
　　例：函数f（x）=（4-3a）x-2x+a，若0≤x≤1，x为变量，a为常量，求证：
　　（1）当a＞时，f（x）≤a;
　　（2）当1＜a＜时，f（x）≤2-2a.
　　证明：（1）当a＞时，4-3a＜0，则当x≤＜0时，f（x）单调递增，
　　当x≥时，f（x）单调递减，＼0≤x≤1，f（x）单调递减，
　　＼f（x）=f（0）=a，＼f（x）≤a;
　　（2）当1＜a＜时，4-3a＞0，则当x≥＞1时，f（x）单调递增，
　　当x≤时，f（x）单调递减，＼0≤x≤1，f（x）单调递减，
　　＼f（x）=f（1）=2-2a，＼f（x）≤2-2a.
　　四、二次函数在数列中的应用
　　例：等差数列{a}的首项a＞0，前n项和S，当l≠m时s=s，问n为何值时s最大?
　　分析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件.
　　解析：由题意知s=f（n）=na+d=n+（a-）n，因为a＞0，当l≠m时，s=S，故d＜0，即此二次函数开口向下，故由f（l）=f（m）得当x=时f（x）取得最大值，但由于n∈N，故若l+m为偶数，当n=时，s最大.
　　若l+m为奇数，当n=时，s最大.
　　小结：数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题.特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如s=an+bn所对应的数列也必然是等差数列的前n项和.此时由=an+b知数列中的点（n，）在同一直线上，这也是一个很重要的结论.此外形如前n项和s=ca-c所对应的数列必为一等比数列的前n项和.
　　五、二次函数在导数中的应用
　　例：函数y=f（x）=x+ax+bx+a在x=1处取得极值10，求a，b的值.
　　分析：易知f′（1）=0，f（1）=10，从而求出a，b的值，但f′（1）=0是函数在该点取得极值的必要不充分条件，故应进行检验.
　　解：由题意得f′（x）=3x+2ax+bx=1是函数的极值，且极值为10，则有：
　　f′（x）=0f（1）=10即3+2a+b=01+a+b+a=10解得a=4b=-11或a=-3b=3
　　当a=4，b=-11时，f′（x）=3x+8x-11=（x-1）（3x+11）
　　＼x＞1时，f′（x）＞0；＼-＜x＜1时，f′（x）＜0＼x=1是函数的极值点.
　　当a=-3，b=3时，f′（x）=6x-6x+3=3（x-1）≥0
　　此时f（x）在R上单调递增，＼x=1不是函数的极值点，故应舍去.
　　＼a=4，b=-11.
　　小结：函数y=ax+bx+cx+d（a≠0）存在极值的充要条件是f′（x）=3x+2ax+b=0有两个不相等的实数根，即D=4b-12ac＞0.
　　六、二次函数在解析几何中的应用
　　例：讨论直线y=kx+1与双曲线x-y=1的公共点的个数.
　　解：由y=kx+1x-y=1消去y得：（1-k）x-2kx-2=0.
　　当1-k=0，即k=±1时，有一个公共点，并且是交点；
　　当1-k≠0，即k≠±1时，D=8-4k，
　　由D＞0得，-＜k＜时，有两个交点，
　　由D=0得，k=±时，有一个交点，并且是切点，
　　由D＜0得，k＞-或k＜时，无交点.
　　综上所述：k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）时，有两个公共点；
　　k=±时，相切于一点;
　　k=±1时，相交于一点;
　　k∈（-∞，-）∪（，+∞）时，无公共点.
　　小结：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.
　　
　　参考文献：
　　［1］王后雄.教材完全解读高一数学（上学期），2006.
　　［2］吴书林.名师面对面（选修2—2），2009.