符号空间的2-移位自映射

宋晓倩

（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州 404100）

符号空间上的转移自映射是研究拓扑动力系统的重要工具之一.1938年，Morse和他的学生Hedlund首次正式将符号动力学作为一个独立的学科提出，[1]之后对于符号动力系统的转移自映射的研究成为一个迫切的课题，这是因为在一定条件下，一个普通的动力系统可以和一个符号动力系统或其子系统拓扑（半）共轭.[2]拓扑传递性和混合性是研究动力系统轨道结构的两个重要概念，关于他们的研究结果已经有很多.[3-5]本文在符号空间中，提出了一类新的转移映射：2-移位自映射，并且探讨了2-移位自映射的周期点及其一些拓扑性质，这些性质与转移自映射的性质一致.

1 预备知识

设S=｛0,1,…,k-1｝，其中k≥2，称S为状态空间，赋S以离散拓扑，则S为紧致拓扑空间，作积空间

此处Z+表示全体非负整数的集合，则由于S为紧致拓扑空间，从而ZS+也是紧致的.

定义ZS+上的柱形如下：

其中 ai∈ S,n ＞ 0,m ≥0，例如

2 主要结果

下面我们在紧致拓扑空间ZS+上定义一个特殊的自映射2-移位自映射如下：

即在σ2的作用下， SZ+的点的坐标一次向左移一位，原第0个坐标抹去，依次类推，并称 (SZ+,σ2)为2-移位单边符号动力系统，下面证明σ2的一些动力性状.

对于任意点x ∈ SZ+,如果存在整数n>0，使得(x) = x，则称x为σ2的周期点；并把使得(x) =x成立的最小正整数n叫做它的周期，x相应的称为n-周期点，σ2的全体周期点的集合记为P(σ2).

定义2[2]：若对任意非空开集 U,V ⊂SZ+，存在n＞0,使得σ2n(U )∩ V≠Ø.则称σ2是传递的.

定义3[2]：若对任意非空开集 U,V ⊂ SZ+，存在N＞0,使得σ2(U)∩ V ≠Ø.∀n ≥ N，则称σ2

是拓扑强混合的.

定理1：σ2有以每一个偶数为周期的周期点.

证明：任取 SZ+中的点 x = (x0,x1,x2…)，对每一个偶数2n，我们构造

从而 SZ+中的每一点都是σ2的周期点的极限点，即σ2的周期点集在 SZ+中处处稠密.

定理3：σ2是拓扑强混合的.即对任意非空开集U,V ⊂ SZ+，存在N>0,使得

证明：设 U,V ⊂ SZ+为非空开集，并设x∈U.由拓扑基的性质，存在N>0使得

因此σ2是拓扑强混合的.

由定义2,3及定理3可得下列推论：

推论1：σ2是拓扑传递的.

3 小 结

本文引入了符号空间上的一类新的映射，称为2-移位自映射，并且探讨了2-移位自映射σ2的一些性质，得出：

1）σ2有以所有偶数为周期的周期点.

2）σ2的周期点集在符号空间中处处稠密.

3）σ2是拓扑强混合的从而也是拓扑传递的.

这些结论于转移自映射的结论基本相似.从而扩展了符号空间的研究范围.

[1]Morse M.,Hedlund G.A.,Am.J. Math.,(60)1938, Reprinted in collected Papers of Morse M.2, World Scientific(1968).

[2]周作领.符号动力系统[M].上海：上海科技教育出版社，1997.

[3]陈绥阳，褚蕾蕾.动力系统基础及其方法[M].北京：科学出版社，2002.

[4]张伟年.动力系统基础[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5]熊金诚.拓扑传递系统中的混沌[J].中国科学：A辑，2005，35（3）.