J-右（左）酉矩阵的性质与分解

贺 阳

（韩山师范学院数学与应用数学系，广东潮州 521041）

1 引言与预备知识

本文所用的符号和所引用的结论均取自文献[1-6]，用Cn×n表示复数域上n阶方阵的全体；用Rn×n表示实数域上的n阶方阵的全体；用In表示n阶单位矩阵；用Jn表示n阶次单位矩阵即次对角线上的元素都为1其余各位置的元素都为0的n阶矩阵；记2n阶矩阵用AL、AR、AT、AH、AST、ASH、det A分别表示复数矩阵A的左转置矩阵、右转置矩阵、转置矩阵、共轭转置矩阵、次转置矩阵、次共轭转置矩阵及行列式；如无特别说明，本文所提的数均为复数域上的数，本文所提的矩阵均为复数域上的矩阵.

定义1 设A∈C2n×2n，若A满足：AAL=ALA=J（其中AL=JAH），则称A为J-左酉矩阵.若A满足：AAR=ARA=J（其中AR=AHJ），则称A为J-右酉矩阵容易看出，若A为J-右（左）酉矩阵，则A为可逆矩阵；JA=AJ；且J,I为J-右（左）酉矩阵.

引理1[2]设A∈C2n×2n，则A=QR（Q R分解）,其中Q为2n阶酉矩阵，R为2n阶与矩阵A秩相同的矩阵.

引理2[2]设 A∈C2n×2n，则 A=UΛV（奇异值分解），其中U，V为酉矩阵，Λ=diag( )λ1,λ2,…,λ2n，其中 λ1≥λ2≥…λ2n≥0 ， λ1,λ2,…,λ2n为A的特征值.

性质1 设A∈C2n×2n，且A为J-右（左）酉矩阵，其中B,C为n阶矩阵.

性质2 设A∈C2n×2n,且 A为J-右（左）酉矩阵，则为n阶矩阵，则B,C满足如下条件：BJnBH+CJnCH=0,BCH+CBH=In,BHB+JnCHCJn=0,BHC+JnCHBJn=In.

证明 由J-右酉矩阵的定义直接计算可得.

这 里 设 Λ1=diag(λ1,λ2,…,λn) 其 中 λ1,λ2,…,λn为 B 的 特 征 值 ， 且 λ1≥λ2≥…λn≥0,Λ2=diag(,,…,)其中,…为C的特征值，且≥≥…≥0.

2 J-右（左）酉矩阵的性质

定理1 设A∈C2n×2n，则以下三个命题等价.

（1） A为J-右酉矩阵；

（2） A为J-左酉矩阵；

（3） A为酉矩阵，且JA=AJ；

证明 (1)⇒(2)若 A为 J-右酉矩阵，得 AAHJ=AHJA=J,且 JA=AJ,则 AAH=AHA=I,JAHA=JAAH=AJAH=J,则A也为J-右酉矩阵.

(2)⇒(3)若A为J-左酉矩阵，则JAHA=AJAH=J，且JA=AJ,则AAH=AHA=I，即A为酉矩阵.

(3)⇒(1)AAH=AHA=I,且JA=AJ,则JAAH=AJAH=J,AHAJ=AHJA=J,即 A为J-右酉矩阵.

由定理1可得A为J-右酉矩阵，则A也为J-左酉矩阵的情况类似，所以A在J-右酉矩阵上所得的定理在J-左酉矩阵上也有相关定理，因此下文只介绍J-右酉矩阵的定理，J-左酉矩阵的定理用同样的方法即可推出.

定理2 设A为J-右酉矩阵,则有以下结论成立

（1） A,AJ均为酉矩阵.

（2） A-1,AH,ASH均与J满足交换律.

（3） AL,AR,AT,AST仍为J-右酉矩阵.

证明 （1）由 AAR=AAHJ=J,则 AAH=I,同理 ARA=AHJA=AHAJ=J，得 AHA=I，则 A为酉矩阵.AJ的证明方法类似.

（2） A为J-右酉矩阵，则AJ=JA,且A为可逆矩阵，则A-1J=JA-1.AH、ASH的证明方法类似.

（3） A为J-右酉矩阵，且AL=JAH，则AL(AL)R=JAHA=(AL)RAL=AJAH=J,则AL为J-右酉矩阵.AR、AT、AST的证明方法类似.

定理3 设A,B均为J-右酉矩阵，则BA-1、BAHB、BASHB均为J-右酉矩阵.

BAHB、BASHB的证明方法类似.

定理4 设A1,A2,A3,…,Am均为J-右酉矩阵，且A1,A2…An为n阶矩阵，n1,n2,…nm为正整数，则为J-右酉矩阵.

3 J=右（左）酉矩阵的分解

定理5 设A∈C2n×2n，且A为J-右酉矩阵，则且B为不可逆矩阵，C为可逆矩阵，若C=V2Λ2U2（其中U2,V2为n阶酉矩阵)则存在矩阵使得A=D01D02D03D04或存在矩阵使得 A=D05D06D07D08.

定理6 设A∈C2n×2n，且 A为J-右酉矩阵,则，且B为可逆矩阵，C为不可逆矩阵，若B=V1Λ1U1（其中U1,V1为n阶酉矩阵)则存在矩阵使 得 A=D11D12D13D14或 存 在 矩 阵使得 A=D D D D.15161718

证明方法与定理5类似，不再证明.

致谢感谢韩山师范学院刘玉教授的悉心指导！

[1]刘玉，蔡增烁.全酉矩阵及其性质[J].韩山师范学院学报，2009，30（6）：1-3.

[2]戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社，2001：131-132，140-141.

[3]袁晖坪，王行荣，李庆玉.行（列）反对称矩阵的满秩分解和广义逆[J].数学杂志，2009，29（4）：515-516.

[4]黄允发.K-可逆矩阵与K-可换矩阵[J].韩山师范学院学报，2009，30（6）：21-25.

[5]刘玉，蔡乌芳，郑则礼.K-次对称矩阵及其性质[J].南通大学学报：自然科学版，2010，2（9）：86-87.

[6]许永平，石小平.正交矩阵的充要条件与O-正交矩阵的性质[J].南京林业大学学报：自然科学版，2005，29（2）：54-56.