线性代数中几个定理的证明

彭章艳

(武汉工程大学理学院，湖北武汉430074)

线性代数中几个定理的证明

彭章艳

(武汉工程大学理学院，湖北武汉430074)

线性代数较抽象，且有一套特有的理论体系和思维方法，本文对行列式的两个基本性质:两行互换，行列式变号与DT=D(行列式转置不变)进行了证明，既具有新颖性，也加强了对行列式的概念和思想方法的理解。

线性代数;行列式;余子式

n阶行列式的定义有两种方式，一是用逆序数的奇偶性;二是用归纳定义(即用展开性质定义)。前者较抽象，学生难以较快掌握，但用该定义证明行列式的性质较容易。后者定义较容易掌握，但用该定义证明行列式性质时有一定的困难(尽管可以充分使用归纳法)。特别是对两个基本性质:两行互换，行列式变号与DT=D(行列式转置不变)。对于这两个性质，一般教科书上不证，只说可以用归纳法证之，但据作者所知，这两个性质用归纳法是无法证明的。

另外，对于两个 n阶方阵 A和 B，有 det(AB)=det(A)det(B)，一般教材是用det(A)det(B)，然后利用行列式初等变换

从而证明det(AB)=det(A)det(B)。

本文给出了在归纳定义行列式的情况下证明上述提到的行列式的两个基本性质，并给出了det(AB)=det(A)det(B)的一种新证法。其中 M1j为 a1j对应的余子式。

引理1 j－1列

证明:由定义1，两边按行展开便获证。

定理1 行列式相邻的两行互换，则行列式反号。

证明:容易验证n=2时，命题成立，假设命题对n－1阶行列式成立。

下证命题对n阶行列式成立。

设n阶行列式的第i行与第i+1行互换得行列式D'

(1)当i≠1时，

其中，M'ij为D'中a1j对应的n－1阶余子式，M1j为D中a1j对应的n－1阶余子式，由归纳假设有M'1j=－M1j。

(2)当 i=1时，由引理2，知

这里用行列项性质，而行列项性质只需用归纳法证之。

萍萍给他取的绰号是从“心肝”开始的，接下去有“宝贝”，“王子”，“骑士”，“马儿”，这是比较优雅的，往后就是食物了，全是“卷心菜”，“豆干”，“泥肠”，“土豆”之类的，还有我们都听不明白的“气势汹汹”和“垂头丧气”。

反复用定理1，便得到如下两个推论。

推论1 行列式两行互换，则行列式反号。

由于行列式的列裂项性质容易用归纳法证之，容易得到行列式依第一列展开的性质。对上式的右端各项应用推论2便得定理2。

利用定理2和归纳法容易得到DT=D。

下面证明 det(AB)=det(A)det(B)。

引理3 设P1，P2为n阶初等阵，则

(1)det(P1P2)=det(P1)det(P2);

(2)det(P1Fr)= det(P1)det(Fr)det(FrP2)=det(Fr)det(P2)。

证 (1)只 是将 P1P2以 E(i，j)，?E(i(k))，?E(i，j(k))代之而验证。

(2)当r＜n时，

而 det(Fr)=0，故 det(P1Fr)=det(P1)det(Fr)。

当 r=n时，Fr=EP1Fr=P1E=P1det(P1Fr)=det(P1E)=det(P1)，

而det(E)=det(Fr)=1det(P1Fr)=det(P1E)=det(P1)det(Fr)。

同理可证det(FrP2)=det(Fr)det(P2)。

注:引理3可推广到有限初等阵或Fr之积的情形。

定理3设A，B均为n阶方阵，则

证明:设A，B的分解式为

A=P1…PkFr1Q1…QlB=P'1…P'mFr2Q'1…Q's，

其中 P1，…，Pk，P'1，…，P'm，Q1，…QL，Q'1，…Q's为初等阵。

线性代数日益渗透到工程技术和经济社会的众多领域，其重要性和实用性与日俱增。本文证明了行列式的两个基本性质，示在帮助巩固，加深，提高和拓宽有关知识，让其成为必备基础和科技人员解决实际问题的有力工具。

［1］同济大学应用数学系．线性代数［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［2］柯斯特利金 A H．代数学引论［M］．北京:高等教育出版社，2010．

［3］(美)Steven J Leon．线性代数［M］．北京:机械工业出版社，2010．

［4］(美)Tom M Apostol．线性代数及其应用导论［M］．北京:人民邮电出版社，2010．

O15

A

1674－5884(2012)02－0174－03

2011－12－28

彭章艳(1966－)，女，湖北仙桃人，研究生，主要从事应用数学研究。

(责任编校 游星雅)