卫星电缆柔性体参数化几何建模方法研究

郝文宇,黄意新

(1.中国空间技术研究院,北京100094；2.哈尔滨工业大学航天学院,哈尔滨150001)

卫星电缆柔性体参数化几何建模方法研究

郝文宇1,黄意新2

(1.中国空间技术研究院,北京100094；2.哈尔滨工业大学航天学院,哈尔滨150001)

针对卫星电缆属于柔性件的特点，提出以动态非均匀有理样条B曲线(Dynamic NURBS)建立基于物理特性的电缆几何模型和动力学模型.模型综合考虑了电缆刚度、质量分布、内部变形能等物理量，经仿真验证该模型能在虚拟环境中有效反映电缆的真实形态和运动状况并估算电缆长度，为卫星电缆的虚拟装配提供理论支持.

卫星电缆；几何模型；基于物理的模型；D-NURBS

近年来,随着卫星发射的产业化,其发射密度持续增大,由此对卫星制造和装配效率提出了更高的要求.卫星等航天器中存在着大量的电源、信号电缆,据统计,其质量一般占航天器总质量的6～7%,在一些设计中甚至达到15～20%［1］,如果考虑其支架和电连接器,则可达50%［2］.目前,卫星装配仍然采用模装方法,即采用1∶1实物模型进行电缆装配,确定各段电缆长度、布线、卡箍位置,并安装好电缆接头,然后再在真星上进行装配.这种方法存在两个问题:一是效率低,每颗星都需要通过人工试安装确定电缆长度和路径；二是电缆路径优化不足,模装中未考虑电缆整体布局.

随着虚拟现实技术的发展,虚拟装配技术逐渐得到应用.但现有虚拟装配系统还难以满足工业级复杂产品中的管路和线缆的虚拟装配要求［3］,更无法在卫星装配中直接应用.究其原因在于线缆几何建模及物理建模方面存在缺陷.首先现有虚拟装配环境中,电缆等柔性物体的建模尚无完善的方法,二维设计大多以折线近似替代电缆路径,形态模拟精度较差,电缆线损严重；二是线缆三维几何建模中往往只考虑电缆路径方向上的曲线形状,没有考虑电缆的截面形状对电缆布线的影响；最后,缺乏有效的电缆等柔性件运动仿真方法.

为此,本文提出一种适用于电缆等线状柔性体的基于物理参数化几何建模方法,采用动态非均匀有理B样条曲线(D-NURBS,dynamic non-uniform rational b-sp lines)描述电缆曲线,综合考虑电缆的刚度、质量、内部变形能等物理量求解电缆的形态,从而建立电缆的几何模型,为后续实现可指导生产的虚拟装配方法提供参考.

D-NURBS是一种基于物理特性的变形曲线造型技术,它源于NURBS.它为自由曲线曲面和解析曲线曲面提供了统一的数学表达,通过调整其控制点的位置以及权因子的值可以获得丰富的形状.由于NURBS强大的形状表示能力,现在它已被国际标准化组织定义为工业产品几何形状的唯一数学方法,成为商业建模系统中的实际标准［4］.但由于NURBS是一种纯几何意义上的造型方法,缺乏物理意义,其形状也只能靠人工设置控制点和权因子等参数进行调整.在虚拟环境中利用其模拟线状柔性体的形状,逼真程度有限.国内王峰军等人［5-6］曾提出采用三次均匀 B样条函数建立电缆几何模型并应用能量优化法优化曲线形状,但三次均匀B样条形状表示能力不足,应用范围有限.

本文将介绍基于D-NURBS的电缆几何建模和动力学方程的确定以及该过程中电缆物理量的引入方法,并给出一个应用实例以验证该方法的有效性.

1 电缆的D-NURBS模型

电缆几何建模的核心是如何描述电缆中心曲线的形态.本文采用D-NURBS曲线对其进行描述,曲线方程如下:

式中:Pi和wi分别为曲线的n+1个控制点向量及其权因子,它们为时间 t的函数；u为参变量, Bi,k(u)为k阶(k-1次)B样条基函数.

在卫星布线过程中,路径确定后,各卡箍位置即能确定,接头方向已由连接器件决定,所需要求解的是过两定点悬空电缆的形态,即求过两定点(端点)且满足端点约束的D-NURBS曲线方程.

2 电缆形态求解

2.1 曲线方程的简化

将式(1)进行简化,并定义 Pi、ωi广义坐标向量,则

为了体现曲线 c(u,t)依赖于广义坐标向量P(t),将曲线方程写成下面的形式:

式中

其中

上式推导过程已在文献［7］中详细阐述,在此不再赘述.

2.2 电缆动力学方程

应用拉格朗日动力学可以获得决定电缆形状和运动的非线性常微分方程组,其推导过程详见文献［3］.

D-NURBS曲线动力学方程如下:

式中:fi(t)为作用在Pi上的广义力,T、U、F为曲线动能、势能及瑞利耗散能.

式中,M为电缆曲线质量矩阵,其表达式为

式中,μ为电缆质量密度函数.

瑞利耗散能F为

式中,D为电缆曲线阻尼矩阵,其表达式为

式中,γ为曲线阻尼函数.

对于曲线的变形势能Ucurve,通常考虑电缆在外力作用下的抗拉伸和抗弯曲变形能力,建立如下变形能方程:

式中:αAstretch为曲线因拉伸产生的变形能；βBbending为曲线弯曲产生的变形能；σ为积分域,即为电缆长度区间；α、β分别为电缆材料的抗拉伸及抗变形性能参数.

电缆静态形状由电缆的物理属性和相关物理规律决定.物理属性包括电缆的质量、抗弯特性、抗拉特性.通常认为电缆处于平衡状态是指在满足相关约束条件下具有最小势能时的状态,即曲线变形能Ucurve为最小值.

由于在卫星布线过程中,电缆长度通常都留有一定的余量,极少因承受拉伸而发生长度方向的变形,因此可将曲线势能方程进一步简化为以下形式:

在这种情况下,只考虑电缆的弯曲变形能即可.

从D-NURBS动力学方程可以看到D-NURBS充分考虑了建模对象的质量、阻尼及弹性变形等物理量,从而实现了由纯几何建模到基于物理的几何建模的过渡,并且可以充分利用NURBS的优点进行曲线形状表达.

3 动力学方程及约束

3.1 动力学方程

文献［4］中利用虚功原理,推导了D-NURBS动力学方程:

fp代表p对应时刻、位形的外力矩阵.Ju和 Juu为 J对u的一阶及二阶导数.

3.2 外 力

在D-NURBS动力学方程中,外力f(u,t)表示t时刻作用在曲面上的净外力,包括弹簧力、重力等.其中各力的函数形式已由文献［7］中给出,在此不再赘述.

3.3 约 束

为将线性几何约束应用于D-NURBS,将式(12)中的矩阵和向量简化为广义坐标的一个最小非约束集,其线性约束通常表示为如下形式:

式中,A为系数矩阵,b为一定值向量；若式(14)为一欠定线性系统,这里可将广义坐标向量表示为:

式中:q为新的广义坐标矢量,由m个分量qj组成, G为n×m矩阵,可以通过高斯消去法或其他方法得到；q0为一常数向量.

由式(3)和式(15)可知,满足上述约束的动力学方程为

式中,L=JG为Jacobian矩阵,其能量表达式为

定义Mq、Dq和Kq分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵,其表达式为

满足线性约束的D-NURBS动力学方程为

其中广义力f为:

且

4 算例验证

由于D-NURBS模型中包含了物体的质量分布、内部变形能及阻尼等物理量.因此可以仿真具有不同材料特性的柔性电缆的形态［8］.Terzopoulos、Hong Qin等人提出的D-NURBS最初是应用于计算机辅助几何设计,作为曲线、曲面形状调整的手段.在其开发的交互式建模环境中,曲线的形状由其质量、阻尼、弹性势能等物理量决定,用户能够以直观的交互方法改变曲线形状,系统自动调整质量密度、阻尼等物理量,以满足所需的形状要求.本文的应用是其逆过程,即已知曲线各项物理参数求解曲线形状.假定电缆为各向同性均质材料,基于MATLAB语言,利用三阶D-NURBS模拟了卫星电缆等线状柔性体的形态.图1为对不同质量密度的电缆形态仿真,电缆两端点固定,质量密度不同时,呈现的形态不同.

图1 不同质量密度下的D-NURBSFig.1 D-NURBS under differentmass density

从该仿真曲线可以看出,在其他参数相同的情况下,电缆质量密度越大,其形态“下沉”越明显.但由于电缆拉伸变形可忽略,电缆长度保持不变,因此两根曲线相交于一点.同理若电缆材料的弹性模量和刚度不同,其静态形态亦不相同,刚度大的电缆其弯曲曲率较小.经过和实际电缆形态相比较,仿真结果的形态模拟精度符合卫星布线要求,可以在虚拟布线平台上使用.

5 结 论

本文将基于物理的曲线造型方法D-NURBS应用于电缆的几何建模中.由于D-NURBS在NURBS曲线的基础上引入曲线质量、内部变形能等物理量,使其形状更符合物理规律,逼真程度更高,克服了NURBS纯几何造型方法的缺点,同时D-NURBS继承了NURBS计算稳定且速度快、具有明显的几何解析特点.

本文系统阐述了该方法的思想和求解过程,并通过一个实例验证了该算法的可行性.该方法建立的几何模型对电缆的模拟逼真度高,能满足电缆布线设计的精度要求,为虚拟环境下的电缆布线提供理论支持.同时,该方法对其他线状柔性体的建模也有借鉴意义.

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声 明

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《空间控制技术与应用》编辑部

Param etrized Geom etrical M odeling M ethod for Flexible Satellite Cable

HAO Wenyu1,HUANG Yixin2
(1.China Academy of Space Technology,Beijing 100094,China；2.School of Astronautics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)

According to the feature that satellite cables belong to flexible parts,the cable geometrical model and dynam ics model based on physical characteristics are proposed by using a dynamic non-uniform rational B-Splines(Dynamic NURBS).Cable stiffness,mass distribution,internal deformation energy and other physical quantities are taken into account in models,real shape and movement of the cable can be effectively reflected and the cable’s length can be estimated in the virtual environment,which provides theoretical support for virtual assembly of cable satellite.

satellite cable；geometric model；physics-based model；D-NURBS

TP391.9

A

1674-1579(2012)01-0029-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2012.01.005

郝文宇(1975-),女,硕士研究生,研究方向为通信卫星及导航卫星总体设计、分析与工程实施；黄意新(1987-),男,硕士研究生,研究方向为航天器动力学仿真.

2011-10-15