一道安徽高考试题的探究

☉湖北省大冶市第一中学 袁方程 黄俊峰

一道安徽高考试题的探究

☉湖北省大冶市第一中学 袁方程 黄俊峰

2008年高考数学安徽卷理科第22题：

（1）求椭圆C的方程；

（2）本题要求证明“点Q总在某定直线上”，事实上就是为了降低难度，提醒我们点Q的轨迹就是一条直线或者直线的一部分.如何求出这条直线呢？从正面直接求出这条直线，非常困难，计算量非常大.我们可以采用“特殊化”思路，先找到这条直线：当椭圆的割线PAB退化为切线时，Q点退化为切点（事实上Q点是不能达到切点的）.于是我们完全有理由猜想这条直线就是两切点C、D所在的直线，下面给出第（2）问的不同于标准答案的解答.

（b）设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2）.

①+②×2并结合③和④，得4x+2y=4.

即点Q（x，y）总在定直线2x+y－2=0上.

这里先由“特殊化”思路找到点Q所在的直线，在这条直线的引导下，得一种很难想到的方法，变得非常自然，非常简便.

本题也可以采用下面的方法求解.

解析几何的难点就是运算量大，尤其是在高考的考场上，对考生的信心是一个重大的考验，如果我们跳出运算量大这个坎儿，则问题就变得比较简单了.本题作为压轴题，起到了区分的作用，同时也给我们一个启示：从特殊到一般的研究问题的一种方法.

从特殊到一般是人类认识客观事物的一种规律.对于一个一般性的问题，先研究它的某些特殊情形，从而获得解决问题的途径，使问题得以“突破”，这种解决问题的策略称为特殊化策略.共性孕育在个性之中.人们总是首先认识了许多不同事物的特殊本质，然后才有可能更进一步地作概括，认识诸多事物的共同本质.本题的第（2）问进一步探究可以得到以下结论.

证明方法同上.