几何概型中的交汇问题

☉江西省赣县中学北区 张小华

几何概型中的交汇问题

☉江西省赣县中学北区 张小华

几何概型是高中数学的新增内容，是新课程高考的一大亮点和热点，是对古典概率的进一步发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是中学数学知识的一个重要交汇点，已成为联系多项内容的媒介.本文展示几何概型与集合、函数、方程、三角形、解析几何的交汇与整合问题.

图1

一、几何概型与集合的交汇

例1 已知集合A={x|－1≤x≤0}，集合B={x|ax+b·2x－1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}，若a、b∈R，求A∩B=Ø的概率.

二、几何概型与函数、方程的交汇

例2已知函数f（x）＝x2－2ax＋b2，a、b∈R.若a从区间［0，2］中任取一个数，b从区间［0，3］中任取一个数，求方程f（x）＝0没有实根的概率.

解：因a从区间［0，2］中任取一个数，b从区间［0，3］中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}.

这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×3=6.

设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}.

图2

三、几何概型与三角形的交汇

解：以A点为起点作射线AM是随机的，且射线AM落在∠BAC内的任何位置都是等可能的，故BM＜1时，射线AM一定落在∠BAD内，且射线AM落在∠BAD内的概率只与∠BAD大小有关，符合几何概型的条件，记事件A={射线AM落在∠BAD内}.

图3

上例只涉及一条射线，我们为什么不等价到线段上的点，而是等价到了弧上的点？那是因为等价到线段上的点破坏了等可能性（因为同等线段长射线扫过的区域不同，但同等弧长射线扫过的区域相同），故我们在等价的过程中不仅要注意一一对应，而且还需考虑符合几何概型的等可能性.

四、几何概型与解析几何的交汇

图4

总之，几何概型虽然描述的是概率问题，可是它很容易与其他知识点相结合.从中可以看到它们的联袂可使呆板、平淡的数学题充满活力和无穷魅力.