经济数学“学用结合”教育模式的研究①

于艳华 孙彩云

(华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601)

经济数学“学用结合”教育模式的研究①

于艳华②孙彩云

(华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601)

论文讨论了国内外经济数学教学的教育现状，指出了将数学建模思想融入经济数学主干课程教学内容的必要性，结合本校经济数学教学过程，总结了将数学建模思想融入经济数学主干课程主要内容的具体措施，提出了创新性的经济数学“学用结合”的教育模式。

数学建模;数学实验;经济数学;学用结合

0 引言

随着我国经济与管理学科的迅速发展，数学作为经济与管理专业的基础课受到越来越广泛的关注和重视，对经济数学的要求也越来越高。然而以往的经济数学教学过于追求体系的严密，理论的完美和逻辑的严谨，忽视了数学“从何而来，又向何去”这个问题。因此，如何在保持传统教学内容的基础上，把数学知识和经济学、管理学的相关内容有机结合是亟待解决的问题。从近年来的理论和教学实践证明，解决这一问题的最有效途径是将数学建模思想融入经济数学主干课程中，以此达到“学用结合，学以致用”的教学目的。本文结合我校经济数学教学改革实践探讨经济数学“学用结合”教育模式的具体措施。

1 国内外经济数学教育现状

1.1 国内经济数学教育现状

由于经济数学教学开展的时间还不长，课程体系和教学内容还不够完善，课程建设相对滞后，在理工科大学数学课程教学中遇到的一些问题，在经济数学课程的教学中，表现得更为突出。近二十年来，尽管国内外的许多数学教育工作者和专家对经济数学的课程体系和教学内容的建设和改革做了大量工作，仍然没有比较好地实现教学目标，仍存在如下一些主要问题：

1)在教学内容上，传统的经济数学教学内容过于追求体系的严密，理论的完美和逻辑的严谨，经济和数学结合不够。目前的经济、管理中的很多问题是不确定的优化问题，这就需要我们掌握一定的概率统计和运筹学的知识。由于大量的学时花费在计算、解题技巧等一些细节上，而经济、管理方面的应用很少，甚至没有应用，特别是那些和经济、管理密切相关的知识点因课程学时少而被砍掉了。这就导致了经济数学的教学内容与经济、管理学科的需求严重脱节。

2)在教学方式上，过于注重概念、定理的推导和证明，注重计算和解题的技巧，过分强调数学的逻辑性和严密性，对知识的应用重视不够，使学生觉得数学相当抽象，对数学问题望而却步，使数学远离我们的日常生活，远离我们的现实世界。

3)在教学手段上，有些学校还停留在“一块黑板，一支粉笔”的时代，与现代教育格格不入。随着现代科学技术的发展，推动了现代教育技术的迅猛发展，但大部分学校对现代教育技术的应用上还只是用于简单的多媒体教学，没有充分发挥现代教育技术的强大功能。

4)在经济应用上，数学的应用停留在古典几何和物理上，忽视数学在经济、管理中的运用，导致学生认为数学没有用，主动应用数学的意识淡薄，不利于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，且不能满足后续专业课的需要。此外，由于学生缺乏数学建模的初步训练，缺乏实践的机会，使得理论和实践严重脱节。学生看不到应用就认为没有用，就没有学习兴趣。这也影响到学生应用数学的能力和数学素质的提高［1］。

5)在考核方式上，考核大多以传统的方法为主。只有平时成绩和期末考试两种形式，考试方式与内容过于简单，答案标准唯一，没有对学生实际应用数学能力和综合能力的检测。

6)在学时上，由于教学内容较多，受课时的限制，教师在经济数学的教学过程中往往为了赶进度，而忽视学生对数学知识的历史背景学习和许多方面的应用实践。没时间对学生学进行建模的初步训练，导致学生对数学的学习缺乏兴趣，进而丧失对数学学习的积极性和主动性。

7)在课程设置上，我国绝大部分院校的经济、管理专业都没有开设数学建模课程和数学实验课程，甚至有些院校连数学建模和数学实验选修课都没有开设。大部分学生都没有机会受到数学建模的初步训练，这也是学数学而不会用数学的关键所在。

8)在师资队伍建设上，缺少一批同时懂经济学和管理学知识的数学老师。由于缺乏必要的经济学、管理学知识，对经济、管理学科中所用到的数学缺乏了解，不能结合专业方向、专业知识讲数学。这导致学生产生数学无用论的观点，甚至有部分学生数学学得还不错，可是遇到运用数学解决实际问题就不知所措了。

以上这些问题导致了很多学生对数学有一种错误的认识，觉得数学没有什么用处，很多学生学数学只是为了应付考试，等考试完了就什么也不知道了。认识上的错误必然使学生学习数学的兴趣下降，从而形成了被动的学习状态，这也直接导致现在大学经济数学考试中出现大批学生不及格的现象。即使那些数学成绩好的学生，他们的认识也是片面的，有相当一部分认真学习数学的同学也完全是因为考研的需要［1］。

1.2 国外经济数学教育现状

在经济数学教育应用方面，国外的教育优于我国，以英国经济数学教学为例：在教学内容上注重经济应用及数学建模教学;在教学方式上淡化定理的推导证明及解题技巧的教学，强化应用部分的教学;在教学资源上由教师推荐一些书籍和网上资料信息，使纸质教学资源、网络教学资源与各类电子教学资源相结合，形成完整的教学资源库;在教学手段上教师和学生都能充分运用网络技术，打破了时间、地域的束缚，将集中学习和自我学习相结合，将分组实验作业和独立作业相结合，即培养了独立分析问题、解决问题的能力，又培养了团结协作精神;在考核方式上采用集中考试成绩、分组建模成绩和平时成绩相结合，即能够很好地检验学生对所学数学概念、结论和方法的掌握程度，又能检验学生的数学应用能力和创新能力;在一定程度上达到了“学以致用，学用结合”的教学目的。

研究表明，英国的经济数学教育模式在应用方面优于我国的经济数学教学，是值得我们学习和借鉴的。

2 数学建模思想融入经济数学主干课程的理论依据及必要性

2.1 数学的应用范围得到了扩展

随着科技的进步，数学的应用范围得到了空前扩展，从传统的力学、物理学等扩展到化学、生物学、经济、金融、信息、材料、环境、能源等各学科甚至社会科学领域，数学建模已成为现代应用数学的一个重要组成部分，并为应用数学乃至整个数学学科的发展提供了进一步的机遇和无限生机。

2.2 将数学建模思想融入主干课程

数学建模不仅是数学走向应用的必经之路，而且是启迪数学心灵的必胜之路［2］。数学教育本质上是一种运用数学素质教育，数学建模及其竞赛打破了原有数学课程自成体系、自我封闭的局面，数学建模教学过程为数学和外部世界的联系打开了一条通道，提供了一种有效的方式。开展数学建模竞赛活动，在大学开设数学建模课程，努力将数学建模思想融入数学类主干课程，顺应了这个历史潮流。大学生通过参加数学建模的实践，亲自参加了将数学应用于实际的尝试，亲自参加了发现和创造数学应用的过程，取得了在课堂里和书本上所无法获得的宝贵经验和精神感受，必能启迪他们的数学心灵，促使他们更好地应用数学、品味数学、理解数学和热爱数学，在知识、能力及素质三方面迅速成长［2］。

2.3 现代教育技术的发展和应用使数学建模思想融入数学主干课程成为可能

现代教育技术的发展和应用，使学生的学习方式、时间、地域都有了多样性和灵活性。为使个别化学习与集体学习有机地结合，教学资源由单一的纸质资源扩展到电子资源和网络资源，教师和学生都可以通过网络技术及其它方法多渠道、全方位地收集有关的教学信息，并进行整合形成完整的教学资源。现代教育技术的发展和应用，使教师的角色和学生的地位发生了改变，教师从原来的以教师为中心的讲授者转变为学生学习的“指导者”和学生活动的“导演者”，教育问题的研究者和持续发展的终身学习者。学生由原来的知识传播的“接受者”的被动地位转变为主动参与、发现、探索的主体地位。所以，现代教育技术的发展和应用使数学建模思想融入数学主干课程成为可能。

实践表明，将数学建模思想融入数学类主干课程是实现“学用结合”的有效途径，是培养高素质复合型人才的重要方法。

3 将数学建模的思想融入经济数学主干课程的具体措施

我们知道，数学类主干课程的原有体系是经过多年历史积累和考验的产物，没有充分理论根据是不宜轻易变动。中国科学院院士李大潜指出：“数学建模思想的融入宜采用渐进的方式，力争和已有的内容有机的结合，充分体现数学建模思想的引领作用。如何将数学建模思想有机地融入到数学主干课程中去，是亟待解决的问题。”我们认为，解决此问题的途径之一是开发一些数学建模教学模块，在保持原有教学体系基础不变的情况下，通过恰当的教学方式选取一些模块进行教学。这样不仅可以加深学生对相关知识的理解和掌握，而且更有利于提高学生用分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识，以此达到“学用结合”的教学目的。几年来，我们以经济数学中微积分课程教学为切入点，围绕上述问题，加强经济数学课程的教学研究，加强经济数学课程的建设与改革，较好地处理了理论与应用的关系，充分利用了现代教学方法与手段，形成了比较完整的经济数学课程教学体系，取得了一系列教学研究与改革成果，积累了一些教学资源和教学成果。

3.1 改革教学内容

将数学建模思想融入主干课程、开设数学实验课和数学建模竞赛活动是实施素质教育的有效途径。由于经济管理中的实际数学应用问题大部分都较复杂，计算量较大，在有限的学时内用传统的教育技术很难将实际问题呈现给学生。而现代教育技术的强大功能使教学内容的形式、来源及其呈现方式产生了多样化，教师和学生都可以通过网络技术及其它方法多渠道、全方位地收集有关的教学信息，并进行整合形成教学资源。有了现代教育技术使数学建模思想融入经济数学主干课程成为可能。

3.1.1 讲授概念中渗透数学建模思想

数学中的概念都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型。在教学中，我们应从它们的实际经济“原型”或学生熟悉的日常生活中的问题自然而然地引出来，使学生知道概念产生的背景。也只有这样学生才能更深刻地理解概念和应用概念。例如，定积分的概念就是从求曲边梯形的面积、变化价格下的收益、变速直线运动的路程等具体问题中产生的。在教学中可以先对求曲边梯形的面积和变化价格下的收益这两个问题建立数学模型，然后用分割、近似、求和、取极限的方法进行求解得到曲边梯形的面积和收益，最后将结果和方法一般化，就得到了定积分这个概念。

3.1.2 章节后经济应用中渗透数学建模思想

在章节后面的经济应用中适当增加典型应用案例教学，采用数学建模的思想方法，对典型经济案例进行透彻的分析和讲解，引发学生思考，使其逐步掌握数学建模的思想方法，引起了学生的极大兴趣，取得了很好的教学效果。例如，在微积分和函数与极限这部分教学中，可以引入指数函数模型、三角函数模型;在导数与微分部分中可以引入鱼群的适度捕捞、征税问题、最优批量、最优价格模型、渔业资源管理、存贮费用优化问题、广告费用的数学模型等;在积分部分中可以介绍捕鱼成本、通讯卫星的覆盖面积问题;在多元函数微分和积分部分中可介绍河水的污染与净化的数学模型、生产调度最优化模型;而在级数部分中可以介绍药物问题、追踪运动信号源问题等。在线性代数的教学中，可引入投入产出模型，在概率论与数理统计的教学中，可引入随机模型等。这些课程通过建立数学模型教学，使学生了解数学概念的产生、发展过程，明确概念的内涵，以及它所孕育的重要思想方法。案例教学不但丰富了教学内容，而且克服了传统教学模式中只注重知识传播，而忽略实际应用的弊端，从而极大地提高了学生学习兴趣和教学质量。为了避免把教材变成了案例集，我们采用的案例都是通过精选的具有实际背景的经济管理方面的应用问题，以此增强数学知识的应用性，教会学生学以致用。

为了突出主旨，也为了避免占用过多的学时，加重学生负担，对经济数学主干课程要精选融入的数学建模内容。其原则应是：仅仅集中精力针对该门课程的核心概念和重要内容，不遍地开花;所用的实际背景应能简明扼要地阐述清楚，不拖泥带水，不烦琐臃肿;不追求自成体系、自我完善，在与原有内容有机衔接的时候，要自觉当好配角，让主角闪亮登场［2］。

3.1.3 习题课中渗透数学建模思想

习题课是培养学生应用能力的重要环节，传统的习题课主要侧重于基本概念、解题方法和技巧的教学，涉及应用方面的问题较少，不利于培养学生解决实际问题的能力和创新能力。所以有的内容可以适当选编一个简单的应用问题，引导学生运用所学数学知识，通过数学建模来解决它［1］。这样的习题课既能使学生掌握建立数学模型的思想方法，又巩固了所学的数学知识。这样的教学过程既加深了学生对数学知识的理解，又强化了学生的应用意识。

3.1.4 在课后作业中渗透数学建模思想

课后作业是进一步理解、消化和巩固课堂教学内容的重要环节。然而传统的大学数学课本中的习题，大多数是为学生巩固基础知识、运算技巧而配置的，很少有和实际比较接近的应用问题，无法培养学生的应用数学能力和创新能力。只有把理论应用到实践中去，解决了实际问题才能达到理解、深化、巩固所学理论的效果，因此可以在课后作业中适当引入数学建模问题。考虑到实际问题的开放性，可以在学习完重点章节后精心挑选几道实际问题作为学生的任选作业，要求学生利用所学的知识用数学建模的思想方法来解决。也可以把这个实际问题作为数学实验的部分作业。为了发挥学生的创造性，也可以在刚开始每一章教学时就提出该作业，让学生带着问题学习知识，这样不仅能活学活用知识，而且还能培养学生的自学能力。由于问题的开放性，可以让几个学生组成一个团队共同协作完成作业，通过实际问题的完成，既可以培养他们的自学能力、创新精神，而且还可以提高他们的数学应用能力与合作意识。

3.2 改革教学方式、手段

由于实际应用问题比较复杂，涉及许多数据、表格、图像和动态过程，用传统的教学方法和手段在短时间内很难展示出来，使数学教学与实际应用相脱节，使学生产生了“学数学无用”的错觉。随着现代教育技术的发展，教师可利用现代教育技术，将多种教学方法与手段有机地结合起来，如将电子教案、课件、视频展示、演示教学同传统的黑板教学紧密地结合起来，大大丰富了课堂信息量，教学效率得到很大的提高，能够很好地将实际应用问题和数学建模过程及其解答展示给同学。在数学教学中，抽象概念的理解，严密的逻辑证明，复杂图形的绘制，是教学的重点、难点。有些数学概念、数学理论涉及形象、动态过程，学生不易理解。利用计算机辅助教学和多媒体教学等各种现代化的教学手段，可解决这些问题。例如：有的定理可以淡化其推导证明过程，充分利用现代教育技术，用举例、图示等方法就可以说明其含义和作用，这种方法简单、易懂、省时、省力，将省下的学时用于实际问题的建模教学。另外，学生也可利用现代网络技术和手段，充分利用各种教学资源自我学习、在线交流、建立数学模型、解决实际应用问题。从而起到了数学教学“学用结合”的作用，提高了教学效果，达到了教学目的。

3.3 改革考核方式

传统数学考试能够很好地检验学生对所学数学概念、结论和方法的掌握程度，但是不能检验学生的数学应用能力和创新能力，因此应该在考核中融入数学建模的测试成绩。由于数学建模的特殊性，它需要在实验室进行，而且完成的时间比较长，为此可以在学期的中间安排一次期中考试。期中考试类似于数学建模比赛一样的方式，让学生自由组队，从多道题目中挑选一道来完成。而期末考试还是采用传统的考试方式，这样既能检验学生的理论知识掌握程度，又能检验学生的应用能力和创新能力，还有助于学生的写作水平和团队合作精神的培养。在考核中融入数学建模成绩很关键，没有这一点其他的教学改革内容就有可能流于形式［3］。需要注意的是考试的命题也一定要把好关，若题目太大、太复杂，在规定时间内完不成，考核就失败了。另外，还可以在一恰当内容结束后，由四到五人一组完成数学建模作业作为考核成绩的一部分，也能达到检测数学应用能力的目的，是一种非常可取的办法。

3.4 创新大众化教育与优秀人才培养方式

随着高校扩招后学生数量的增加，学生对数学的要求出现了差异：一部分学生要考研究生，对数学知识的要求更高、更多;另一部分学生则希望学以致用，能够满足专业的需要就可以了;还有部分学生却因为数学考试不及格甚至影响毕业。针对这种情况，对新生应采取“因材施教、分级教学”的方法。通过考试和学生自己的意愿相结合，把学生分成A和B两种教学班。A班的教学要求高、教学内容丰富，教学中不但让学生掌握数学的基本概念、基本方法和应用，还要注重数学的严谨要性，主要是满足学生考研的需要。而B班以实用为目的，让学生掌握数学的基本思想、基本方法和应用，其中数学应用为侧重点，使之达到大学数学教学的基本要求。

3.5 改革课程设置

由于经济数学课堂教学本身教学学时就很少，如果加入数学实验或者融入过多数学建模案例，根本无法完成教学任务，应采取一些适当措施来解决这一矛盾。例如，我校在全校开设了数学建模的选修课，建立了数学建模实验室;我们还打算在不增加学时的基础上，适当增加数学实验课，让学生自我学习，掌握常用的数学软件;为了提高学生对数学的兴趣，也为了服务于数学建模竞赛的需要，打算每年举行一次数学文化节，在此期间，请一些数学专业毕业但后来在其它领域取得了成就的大师、教授、博导现身说法讲数学的应用;此外，我们还组织经验丰富的老师举行数学建模专题讲座，一方面提高学生的兴趣，另一方面普及数学建模的思想和方法。我们在数学教学中引入数学建模案例的同时，还可以对原有的教学内容作适当的调整，如删除某些繁琐的推导过程、计算和解题技巧等等。对于大多数的计算问题，包括求极限、求导数、求积分、解方程组、求优化问题等，都可以用Mathematica、Matlab、Lingo等数学软件直接在计算机上得出结果。这样一来，可以有效地解决增加数学建模内容而课时不够的矛盾。比如说，一元函数微积分中，不定积分的计算方法灵活多样，技巧性强，几种常用的积分法的教学要好几个课时，学生课后也要花费大量的时间做练习，负担过重。在教学中，我们可以删除这些计算技巧的训练，而只讲一些积分的性质、基本计算方法、积分的基本思想和应用［3］。

3.6 加强师资队伍的建设

为了在教学中真正做到注重应用，应加强专业知识“双师型”师资队伍的建设，特别是加强教师尤其是青年教师的教育理念、教学水平、科研能力、综合应用能力的培养，是提高经济数学教学质量和数学建模教学质量的保证，是培养新世纪复合型人才的需要。作为一名经济管理类的大学数学教师，不但要具备扎实的数学专业知识和数学建模方法，还要掌握一定的经济、管理类专业知识，只有这样才能教会学生运用数学知识解决经济管理类的实际问题，提高教学质量。目前我们部分数学老师已经开始和管理学院的老师合作开展课题研究，争取成为既懂数学又懂经济、管理专业知识的“知识双师型”教师，以适应培养新世纪复合型人才的需要。

4 经济数学“学用结合”教育模式需要注意的几点问题

不是每一个概念、公式之前都一定要有一个经济类原型，这是因为事物还有其另外的一面，数学的思想方法还有一个重要的特点，就是一旦形成了基本的概念和方法，不再需要实际需求的刺激，单凭解决数学内部矛盾这一需求的推动，单凭抽象的数学思维，数学也可以大踏步地向前推进，而且所得到的结论还可以成功地接受后来实践的检验，充分显示出数学的威力［2］。

把数学建模的思想和方法融人高等数学课的教学中去的目的当然是希望学生能在一定的层次上学到一点数学建模的思想和方法，然而，最主要的目的是要促进学生更好地学习、掌握主干数学课程，学习、掌握将来会用到的数学的思想和方法。千万不能喧宾夺主，用“数学模型”或“数学实验”课的内容抢占数学类主干课程的阵地。

5 结束语

经济数学“学用结合”的研究是一项相当长期的任务，不可能立竿见影的。我们应该努力去做，但是期望值不能过高，关键是我们要踏踏实实地钻研和工作，我们的思考、钻研要广而深，行动、措施要小而稳，更不要大搞“运动”［2］。在教学实践中尽可能作到不打无把握之仗，真正讲好一堂课、一个案例、学生的实践讨论课，这就是成功的开始。

［1］严培胜.数学建模与经济数学教学改革［J］.科协论坛，2007，(5)：131－132

［2］李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程［J］.中国大学教学，2011，(12)：9－7

［3］严培胜.将数学建模融入大学数学教学中［J］.湖北经济学院学报，2010，(6)：7－6

声明

我刊2011年第三期第92页发表的《煤炭类专业大学生的专业思想问题探析》一文的作者简介刊登有误。将作者彭丽丽的简介由“华北科技学院基础部教师”更正为“鲁东大学在读硕士研究生”。

特此声明

Research on teaching model of learning with practice in economic mathematics

YU Yanhua，SUN Caiyun

(Basic Department，North China University of Science＆Technology，Yanjiao Beijing－East101601)

The current situation of the domestic and foreign teaching of economic mathematics was discussed in this thesis.It was pointed out the necessity that the mathematical modeling thoughts should be integrated into economic mathematics courses.Combined with our economic mathematics teaching process，we summed up the definite measures to integrate the mathematical modeling thoughts into economic mathematics courses，putting forward an innovative teaching model of learning with practice in economic mathematics.

mathematical modeling;mathematical experiment;economic mathematics;learning with practice

G642

A

1672－7169(2012)01－0106－05

2011－12－18

于艳华(1962－)：女，吉林白山人，硕士，副教授，研究方向：图论。

华北科技学院学报编辑部