基于LED的自由曲面反射器设计软件研究

刘正权 孙耀杰 林燕丹

(复旦大学信息科学与工程学院光源与照明工程系，上海 200433)

1 引言

LED具有环保节能等优点，在道路照明、汽车前照灯、投影仪设备和扫描打印等领域得到了广泛的应用。为了解决LED光源发光不均匀的问题，需要根据LED光源特性和预期光度分布要求进行二次配光设计［1～2］。按照设计对象划分，现在基于LED光源的非成像光学设计主要有自由曲面反射器和自由曲面透镜，其设计思想都是通过光学器件对光源光线的调制以达到在被照面上形成预期的照度分布的目的［3～5］。在非成像光学设计中边缘光线理论是基本理论［6］。针对LED的自由曲面光学设计主要有以下几种方法:2002年Ries等使用三维自由曲面裁剪法设计光学曲面，这个方法通过裁剪光学曲面控制波前方向，最终将光学曲面模型抽象为求解一组非线性偏微分方程，其缺点是不能根据指定的光学曲面进行设计［7～10］。另一种方法是网格法，这种方法具有直观的优点，设计方法是根据光源与被照面之间的能量映射关系进行光线设计，通过迭代求解得到光学曲面的坐标点以确定透镜或者反射器的外形［11～12］。第三种方法是基于微分几何的光学设计方法，丁毅等基于折射定律和光通守恒定律建立了自由曲面透镜的偏微分方程组，并使用数值计算的方法求解反射器的面型，这个方法的优点是目的性强且花费时间短，缺点是需要求解一组偏微分方程，求解与编程一般比较困难［13］。

为了解决上述问题，本文根据LED配光特性和矩形照度分布要求，基于微分几何理论和能量守恒原理建立自由曲面反射器模型，使用一阶偏微分方程描述自由曲面反射器，并将该设计流程与算法编译成自由曲面反射器设计软件，通过简单的交互操作就可以设计出符合要求的反射器，简化了设计步骤并降低了自由曲面反射器设计难度。

2 软件算法

2.1 光线与自由曲面一般作用关系

我们在球坐标下研究自由曲面，假定自由曲面是一阶连续且正则。我们首先讨论自由曲面的法线、切线及其与光线的相互作用关系。如图1所示，自由曲面上任意一点 P，矢径 可记为 ρ(ρsinθcosφ，ρsinθsinφ，ρcosθ)，其中 θ和 φ分别为天顶角和方位角，ρ为矢径 长度。

图1 球坐标下自由曲面与光线相互作用

如图1所示，入射光线和折射光线的单位矢量分别为I和I'，入射光线与折射光线所在空间介质折射率分别为n1和 n2。根据折射定律定律，有

2.2 光源与被照面能量拓扑关系

以矩形照度分布为例分析光源与被照面能量拓扑关系，如图2和图3所示［15］。光线全部照射到矩形被照面上且照度均匀分布，根据能量守恒定律，有

其中I(θ，φ)为LED光源光强分布，E(x，y)为矩形被照面上照度分布，为常数。矩形被照面长度和宽度分别为l和w，LED近似为朗伯光源，配光I(θ，φ)取I0cosθ，计算得到

即理想情况下，路面照度为E=πI0/wl。

图2 LED光源与被照面能量拓扑示意图

图3 立体角微元与面积微元之间能量拓扑示意图

如图3所示，对于不同的θ范围内，有

其中X和Y分别表示对应第一象限矩形被照面顶点坐标且满足X/Y=l/w。计算得到

在第一象限，当0≤y＜Y时，即x=X=(l/2)sinθ，(y/Y)=φ/(π/4)，有 y=(4φ/π)Y=(2φw/π)sinθ;当y=Y时，x=(4X/π) × ［(π/2) －φ］=(2l sinθ/π) × ［(π/2) － φ］，y=w sinθ。综上所2述，第一象限内LED发光面上方位角为 (θ，φ)的出射光线照射到路面上点 Q的坐标 (x，y，z)为

软件中使用Runge-Kutta法求解第一个边界条件得到ρ(θ，π/2)，再使用Lax-Friedrichs格式求解一阶偏微分方程［16］。

图4 自由曲面反射器设计软件主界面

3 软件算法验证

如图4所示为自由曲面反射器设计软件主界面，其主要包括参数设置、几何模型和照度分布三个功能区域。其中参数设置功能区域主要用来设置被照面照度分布形状，有矩形、圆形和正多边形三种形状供选择，并可以分别设置被照面的几何尺寸。对于LED光源配光可以选择朗伯配光，也可以自定义配光数据导入软件。另外，设计过程中还需要设置反射器中心与LED光源的垂直距离。在设置好上述参数后，运行软件就可以计算出反射器面型，并在右面的几何模型界面中显示出反射器的外形，包括三维视图和二维投影视图。设计软件导出的反射器模型可以导入光学追迹软件进行光学仿真以验证设计效果。本软件中也提供了被照面照度分布分析。

为了验证软件算法的效率和可靠性，使用矩形和圆形照度分布自由曲面反射器设计实例来进行验证。对于圆形照度分布自由曲面反射器，其参数设置为被照面半径1000mm，LED与反射器中心距离30mm，LED与被照面距离2000mm。将软件计算得到的反射器导入光学仿真软件进行追迹验证设计准确性，反射器外形光线追迹和照度分布分别如图5和图6所示。

图5 圆形照度分布自由曲面反射器外形与光线追迹图

图6 圆形被照面照度分布

从图6可以看到，圆形被照面的照度均匀度为0.92，设计结果与预期一致，算法设计是合理的。对于矩形照度分布反射器，参数设置为LED与反射器中心距离30mm，矩形被照面长度2000mm，宽度为3500mm，矩形被照面与LED中心距离2000mm。矩形照度分布反射器外形和照度分布分别如图7和图8所示。

图7 矩形照度分布自由曲面反射器外形图

图8 矩形被照面照度分布

从图8可以看到，矩形被照面照度基本呈矩形分布，照度分布均匀，其纵向照度均匀度为0.8，横向照度均匀度为0.9。另外，被照面的照度分布不是严格的矩形分布，这个误差主要是数值求解和曲面拟合建模过程中引入的;数值求解差分格式的稳定性和步长影响了求解精度，三维模型软件使用样条曲面拟合曲面上离散数据，也引入了误差。另外，从被照面照度分布可以看到，在矩形对角线上的照度较高，这是由对角线部分的反射器表面不平滑引起。

4 结论

针对LED光源配光建立了自由曲面反射器设计模型，根据设计模型分别设计了数值计算和光线追迹算法，并编译成可操作的GUI界面。和使用有限差分法求解得到了自由曲面反射器面型并使用光学软件进行了分析验证，被照面纵向和横向照度均匀度分别达到了0.8和0.9。该软件适用于道路照明灯具设计和汽车前照灯设计等领域。可以通过优化软件算法提高计算效率和精度，降低反射器面型误差，进一步提高反射器光学性能。

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