基于奇异谱分析的汇率预测研究

张 一，惠晓峰

（哈尔滨工业大学 经济与管理学院，哈尔滨 150001）

0 引言

对汇率预测的研究多年来一直是国际金融界的一个重要课题。自Messe和Rogoff[1]于1983年建立了简单的随机游走模型并证实其预测效果优于其它模型后，关于汇率预测的研究方法不断涌现。坚持有效市场假说的学者们认为汇率是由独立的、随机的变量产生的白噪声信号，即汇率不可预测。坚持汇率决定理论的学者们则主要从基于基础变量预测法和技术预测法两个方向进行研究。基础变量法主要考虑的变量是价格水平、利率基准、货币供应量、国民收入、外汇储备等因素并形成了不同的理论，如购买力平价理论[2～4]、利率平价理论[5]、国际收支理论等。由于经济基础变量在短时期内变化很小，所以在解释汇率短期波动上并没有取得很好的效果。技术预测法则从时间序列数据本身出发，通过历史数据来进行预测，如ARMA模型，ARIMA模型，ARCH模型，GARCH模型等。这些模型主要是用过去变化和过去方差来预测将来的变化，可有效地排除资产收益率中的过度峰值，并取得了较好的预测效果。

近年来，非线性动力学的快速发展为资产价格的预测提供了新的研究方法。这种方法主要是通过时间延迟和相空间重构技术，将所观测到的时间序列数据还原成代表其动力学特征的高维相空间，并将其看做是由其动力系统的吸引子产生的相空间轨迹的一部分[6～8]。由于金融市场具有非线性、不连续等内在特征，使得该方法在这一领域取得了很好的应用效果。

奇异谱分析（SSA）是近年来兴起的一种研究非线性时间序列数据的强大的方法。它根据所观测到的时间序列构造出轨迹矩阵，并对轨迹矩阵进行分解、重构，从而提取出代表原时间序列不同成分的信号，如长期趋势信号、周期信号、噪声信号等，从而对时间序列的结构进行分析，并可进一步预测。奇异谱分析目前较多地应用在气象学和地质学的研究中，并有少量学者将其引入到社会问题研究中。由于这种方法不需要对模型进行假设，是一种非参数估计法并且不需要各种经济指标数据，不存在模型设计和过度拟合等问题，所以同样适合于金融时间序列的分析。

1 方法介绍

1.1 奇异谱分析方法

奇异谱分析（SSA）方法最早由colebrook[9]于1978年首先在海洋学研究中提出并使用。Fracrich[10]用一维时间序列在延迟相空间中做EOF展开，再通过显著性检验研究确定有意义的特征成分的个数，据此估计气候吸引子的维数。这个工作被认为是SSA在气象学中的最早应用。Hassani[11]将这种方法引入到社会问题研究中来，并用其预测了美国交通事故的月时间序列数据。N.Golyandina[12]给出了奇异谱分析的扩展形式-多通道奇异谱分析的算法，并由Hossein Hassani[13]用来对英镑/美元汇率进行了分析预测，取得了较好的效果。目前，国内应用这一方法研究金融领域问题的文献并不多，主要有徐海云[14]对我国货币供应量进行了分析，吕红[15]用其对上证指数预测等。更多关于奇异谱分析方法的介绍可参考文献[16～20]。

奇异谱分析的基本思想是，将所观测到的一维时间序列数据YT=(y1,…,yT)转化为其轨迹矩阵：

其中，L为选取的窗口长度，K=T-L+1，计算XXT并对其进行奇异值分解（SVD），从而得到其L个特征值λ1≥λ2≥…≥λL≥0及其相应的特征向量将每一个特征值所代表的信号进行分析组合，重构出新的时间序列。奇异谱分析过程可分成嵌入、SVD分解、分组、重构四个步骤，下面详细介绍具体算法。

1.2 算法

1.2.1 嵌入

选择适当的窗口长度L（2≤L≤T），将所观测到的一维金融时间序列数据转化为多维序列X1,…,XK，，得到轨迹矩阵。这里L的选取不宜超过整个数据长度的1/3，如可根据事先经验大致确定数据的周期特征，则L的选取最好为周期的整数倍。

1.2.2 SVD分解

计算XXT并求得其L个特征值λ1≥λ2≥…≥λL≥0，U1,…,UL为其所对应的正交特征向量，另d=max(i,λi＞0)=R(A)，则

1.2.3 分组

将（2）式中的Xi分成几个不同的组并将每组内所包含的矩阵相加，另{i1,…ip}为第I组所包含的矩阵，则XI的贡献率为

1.2.4 重构

将矩阵XI转换成其所对应的时间序列数据，每一组数据代表原序列的某一运动特征，如长期趋势，季节性趋势，噪声信号等。设zij为矩阵Z所对应的元素，则第k个时间序列数据为满足i+j=k+2的所有z的平均值，ΗZ为新获得的时间序列的轨迹矩阵。以此来求式（4）中的每一个矩阵，则可得

原序列YT=(y1,…,yT)可表示成

1.3 预测

线性递归过程是将序列某一点的数据用其前d个数据的线性组合来计算

用线性递归模型对（5）式中的重构序列进行预测，得到预测数据，并进一步将预测结果与随机游走模型进行比较

RMSE为均方根误差，N为预测数据个数。

若RMSE≈0或是很小，说明预测结果相当精确；

若RMSE＜1，说明该方法预测结果优于随机游走模型；

若RMSE＞1，说明该方法预测结果比随机游走模型差。

同时计算检验统计量

当DM结果为负，且绝对值越大，表明预测结果越是显著地优于随机游走模型。

2 实证结果

2.1 数据分析结果

2.1.1 数据选取与预处理

本文选取欧元兑美元汇率作为研究对象，样本区间为2000年1月1日至2007年12月1日，共1505个观察值。在进行具体分析前，先将数据标准化：yt→yt/||Yt||t=1,…,T，其中结果如图1所示。

图1 欧元/美元时间序列数据

2.1.2 趋势分析

选取窗口长度L=30对序列进行分析重构，并提取第一个特征值为代表数据长期趋势的主要成分，结果如图2所示。

图2 序列的长期趋势成分

对特征值1所代表的成分进行对角线平均，得到重构后的时间序列数据。特征值2～30为噪声信号，分析结果如图3、图4所示。

图3 主成分信号

图4 噪声信号

2.2 预测结果比较

用图3所示的新获得的数据进行预测，预测方法为（7）式所示的线性递归过程，向后预测40个数据，并与真实数据比较，进一步根据（8）式求得根均方误差，并计算（9）式中的检验统计量，如表1所示。

表1 预测结果

由表1预测结果可见，在预测短期汇率时，SSA分析方法优于随机游走模型，但随着预测数据的增多，结果逐渐变得不显著。

3 结论

本文对奇异谱分析方法进行了详细的介绍并用其对汇率预测问题进行了实证检验。结果表明，在进行短期汇率预测时，用该方法得到的预测结果优于随机游走模型，预测精度比较理想。奇异谱分析是一种比较新的且功能强大的处理时间序列的分析方法，可用于提取时间序列的主要成分、降噪、预测等很多方面。所以可将其进一步应用于其他的经济及金融时间序列分析问题中。同时，其扩展形式多通道奇异谱分析（MSSA）、复杂奇异谱分析（CSSA）也是可以进一步深入研究的方向。

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