一种基于子空间的OFDM载频盲估计方法

丁金忠，黄 焱，王润亮，李 浩

（解放军信息工程大学 信息工程学院，河南 郑州450002）

OFDM是一种特殊的多载波传输技术，具有高效的频谱利用率及良好的抗多径衰落能力，被认为是下一代移动通信系统最具吸引力的候选方案之一[1]。在移动通信系统中，由于发射机与接收机本振不稳定，或者系统存在多普勒频移，因此会引起载频偏差。OFDM系统的一大缺陷是对载频偏差特别敏感。如果载频偏差是子载波间隔的小数倍，则各个子载波之间不再正交，引入了载波间干扰（ICI），导致子载波间的能量“泄漏”，造成信号功率下降，使系统误码率性能下降。如果载频偏差是子载波间隔的整数倍,则各个子载波之间仍然保持正交，但各个子载波上的数据发生了移位。

目前，已有大量OFDM系统的载波同步方法，可以分为两大类：基于训练序列或导频的同步方法和盲同步方法。其中，基于训练序列或导频的方法[2-3]可以获得较高的同步精度，且同步速度较快，但是这类方法需要在传输数据中插入训练序列或导频，牺牲了系统的传输效率。因此，在对系统传输效率要求较高的场合通常需要充分利用OFDM信号的结构特性，进行盲同步。这类方法主要有基于循环前缀的最大似然（ML）方法[4]、利用信号自相关特性的方法[5]、基于信号循环平稳特性的方法[6]及基于子空间的方法[7-8]等。

本文提出一种基于子空间的OFDM系统载波盲同步方法。利用OFDM信号子空间与噪声子空间相互正交的特性进行小数倍频偏估计；对小数倍频偏进行补偿后，利用在理想条件下OFDM系统虚子载波能量为0的特性进行整数倍频偏估计。

1 OFDM系统结构模型

OFDM系统发送端产生0、1比特序列经过串并转换分配到许多个子载波上进行基带调制。采用IFFT变换来保证系统各个子载波之间相互正交，并转换成时域信号。为了有效克服码间干扰，在OFDM系统中常采用循环前缀CP(Cyclic Prefix)技术，即复制符号末尾的M个样点到原OFDM数据之前作为循环前缀，与原OFDM数据构成一个完整的OFDM符号。最后，将数据并串转换后进行发送。发送信号经过存在多径衰落影响与加性高斯白噪声干扰的信道后到达接收端。另外，由于发射机与接收机本振频率差以及多普勒频移的存在，引入了载频偏差。接收端进行频偏补偿后通过一系列与发送端相反的处理过程恢复出发送数据，实现信息的有效传递。

系统子载波总数为N，其中数据子载波数为 P，虚子载波数为N-P。第k个调制符号的频域表示为Sk=[Sk(0),Sk(1),…,Sk(P-1)]T，不失一般性，假设系统前 P个为数据子载波，定义N×P维IDFT矩阵：

其中，ωN=e-jπ/N。

在IDFT变换产生的时域信号前添加长度为M的循环前缀，以上过程的矩阵表示式为：

其中 WP(N-M+1:N,:)表示WP的 N-M+1至N行。

令ε为实际频偏与子载波间隔之比，定义频率偏移矩 阵 E=diag[1,ej2πε/N，… ,ej2πε(N-1)/N],考虑载频偏差和噪声影响，则第k个接收符号第n个子载波上的数据可以表示为：

其中，Hk是 k时刻的信道响应构成的 Toeplitz矩阵，nk是复高斯白噪声。

2 基于子空间的载频盲估计方法

由于载频偏差的存在，使得各个子载波之间不再正交。为了正确恢复数据，必须在接收端做FFT变换之前进行载频估计并补偿频偏。令频偏补偿矩阵=diag[1,偏校正后的信号，其 自相关矩阵：

其中E(·)表示数学期望，实际处理中通常用算术平均代替。

其中，Us为张成信号子空间的一组基，对应于较大的P个奇异值；Un为张成噪声子空间的一组基，对应于N-P个较小的奇异值。

发射端用于做IDFT变换的矩阵WP也是信号子空间的一组基，所以当频率偏差得到完美补偿时，如不考虑噪声的影响，WP所有列向量与噪声子空间Un之间正交，即满足式:

实际上，由于系统噪声的存在，上式并不成立。定义代价函数:

基于以上分析，将频偏估计分解成两个阶段：小数倍频偏估计和整数倍频偏估计。

2.1 小数倍频偏估计

利用上文关于代价函数单调性周期变化的结论，可以将估计小数倍频偏的搜索范围限定在（-1,1）内。图3给出实际归一化频偏为-3.33时，代价函数在∈(-1,1)内随变化的曲线。由图3可见，与上文结论一致，在=-0.33与=0.67时分别会出现局部极小值点，选择两者中代价函数值较小的即为小数倍频偏的估计值。特别地，如果实际归一化频偏为正、负整数时，小数倍频偏将会被估计成1、-1，这与实际情况不符。但是这个问题会在后文进行整数倍频偏估计时得到纠正，并不会影响整个频偏估计算法的准确性。

2.2 整数倍频偏估计

经过估计并纠正小数倍频偏后，OFDM符号各个子载波之间的正交性得到恢复。令小数倍频偏补偿矩阵d=diag[1,e， …,e],进行小数倍频偏补偿后k时刻的信号可以表示为:

OFDM系统中虚子载波不传输数据，对应子载波上的信号能量为0。如果不存在整数倍频偏且不考虑噪声影响,则自相关矩阵对角线上后N-P个元素应为零；如果存在整数倍频偏±M，则非零元素会沿着对角线向右/左平移M位。图4所示为整数倍归一化频偏为-3时的曲线。可见，非零元素向左平移了3位。参考文献[5]中采用的整数倍频偏估计方法没有考虑较大的非零对角线元素分布在首尾两端的情形,当M∈(NP+1,N-1)∪(-P,-1)时，该方法失效。为了使算法对所有整数倍频偏都能进行有效估计，作如下改进。

对 k∈[1,N]， 令序号 集 合 Ak=(k∶k+N-1)mod(N)，表示集合Ak的补集。取的对角线元素{r1=()iii∈[1,N]}，定义代价函数为：

上述整数倍频偏估计方法也可推广至数据子载波起始序号不为1的情形。综上，系统频偏估计为：

3 计算机仿真实验及误差分析

3.1 仿真实验结果

在Matlab实验环境下，对所提出的算法进行仿真以验证其性能。仿真条件如下：OFDM系统子载波数N=64，循环前缀长度为 8，系统采样率为 72 kHz，符号周期1 ms，每一帧OFDM数据包含20个OFDM符号。仿真分别在加性高斯白噪声信道和瑞利衰落信道下进行，采用的瑞利衰落信道多径数为5，最大多普勒频移为5 Hz(对应归一化最大多普勒频移fdT=0.005)，各径参数如表1所示。仿真中每隔一个符号周期对信道采样一次，即假定在一个OFDM符号内信道保持不变。共进行500次蒙特卡罗实验。图5、图6给出了实验结果。

表1 瑞利衰落信道各径参数

定义频偏均方误差 MSE（Mean Square Error）：

图5所示为在AWGN信道和瑞利衰落信道条件下，各子载波调制方式分别为BPSK、16QAM，利用200个OFDM符号进行载频估计时，本文算法频偏估计的MSE性能随信噪比变化的曲线。从图5可以看出，本文算法性能不受OFDM子载波调制方式影响，不论在加性高斯白噪声信道还是在瑞利多径衰落信道下都能得到较高的估计性能。图6所示为在瑞利衰落信道条件下，子载波调制方式为BPSK，信噪比为15 dB时，本文算法频偏估计MSE随符号数变化的曲线。由图6可见，随着用于进行频偏估计的符号数增加，频偏估计MSE变小，当符号数大于100时，算法性能逐渐趋于稳定。

图7所示为在瑞利衰落信道条件下，实际归一化频偏为-3.33时，整数倍频偏估计正确率随信噪比变化曲线。由图7可见，随着信噪比增大，整数倍频偏估计性能越来越好，当信噪比等于0 dB时，整数倍频偏估计正确率达到100%。图8所示给出了信噪比为15 dB时，本文算法对不同载波频偏估计MSE性能曲线。从上文理论分析可得，整数倍频偏不会影响各子载波之间的正交性，故算法性能应当不受整数倍频偏影响。但由图8可见，当归一化频偏时，算法获得最好的性能；随着频偏增大，估计MSE性能下降,且对于相同的整数倍频偏,估计性能相近。

3.2 误差分析

从图8中可以发现，仿真实验中算法对不同载频偏差的估计性能并不相同，这与理论分析的结论不符。这是由于在Matlab中存在计算误差，导致OFDM符号受到整数倍频偏影响后各个子载波之间不再严格正交，且整数倍频偏越大，这种正交性的丧失越严重。所以，图8中的频偏估计MSE呈现为一条阶梯状的曲线。

利用OFDM信号子空间与噪声子空间的正交性，本文提出一种小数倍载频偏差的估计方法；利用整数倍频偏会引起OFDM数据在子载波上发生移位，从而影响子载波上能量分布的特性，进行整数倍载频偏差估计。该方法无需任何训练序列辅助，能够实现OFDM载波盲同步。仿真结果表明，本文具有良好的性能，且估计性能不受系统子载波调制方法及信道条件影响。

[1]BERTHOLD U,JONDRAL F K,BRANDES S,et al.OFDM-based overlay systems:A promising approach for enhancing spectral efficiency[J].IEEE Communication Magazine,2007,45(12):52-58.

[2]SCHNIDL T M,COX D C.Robust frequency and timing synchronization for OFDM[J].IEEE Transactions on Communications,1997,45(12):1613-1621.

[3]HSIEH H T,WU W R.Maximum likelihood timing and carrier frequency offset estimation for OFDM systems with periodic preambles[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology,2009,58(8):4224-4237.

[4]BEEK J J,SANDELL M,BORJESSON P O.ML estimation of time and frequency offset in OFDM systems[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1997,45(7):1800-1805.

[5]王庆,葛临东,巩克现.一种基于自相关矩阵的OFDM信号同步参数盲估计算法[J].电子与信息学报学报,2008,30(2):383-387.

[6]郭里婷,朱近康.基于信号周期平稳特性的OFDM系统时频参数盲估计算法[J].电子与信息学报学报,2006,28(9):1706-1709.

[7]LIU H,TURELI U.A High-Efficiency carrier estimator for OFDM Communications[J].IEEE Communications Letters,1998,2(4):104-106.

[8]HIREN G,QASAYMEH M M,NIZAR T,et al.Efficient structure-based carrier offset estimator for OFDM System[C].IEEE Vehicular Technology Conference,2009:1-3.