基于拟牛顿法的常模盲多用户检测算法*

潘子宇，酆广增，孔媛媛

(1.南京工程学院 通信工程学院,江苏 南京 211167 2.南京邮电大学 通信与信息工程学院,江苏 南京 210003）

多用户检测（MUD）应用于CDMA下行系统以消除多址干扰MAI[1]。盲多用户检测是通信领域研究的热点，它无需发送训练序列，只需目标用户的特定波形和定时信息。盲多用户检测按代价函数的不同有很多种形式，如基于Kalman滤波的算法、基于子空间的算法等。常模（CM）算法也是其中一种，它利用发送信号模值恒定的性质，通过检测器的输出直接计算期望响应，实现盲检测。

传统 CM算法基于最陡下降法（SDCMA）[2]，算法简单但收敛过程漫长。最小二乘常模算法 （LSCMA）是Agee于 1986年提出的[3]，使用最小二乘法设计常模算法，收敛性能得到提高。但该算法需要进行矩阵求逆运算，当矩阵是奇异或病态时，算法会走向发散[4]。

针对以上两种基本算法，有很多改进算法。如线性约束常模算法（LC-CMA）[5]，参考文献[6]证明了 LCCMA的收敛特性和速度，由于迭代是最陡下降的，相邻两次的搜索方向相互正交，呈“之”字型下降，越靠近收敛点越慢，复杂度为O(N2)（N为扩频码长度）。还有线性约束最小二乘常模算法[7]（LC-LSCMA）、子空间最小二乘常模算法等，这些算法与LSCMA相比性能大幅提高，但复杂度更大，均在O(N3)数量级，而且所有基于 LSCMA的算法都需要进行矩阵求逆运算，而这是最优化方法[4]力求避免的问题。

[6]论证了AWGN下LC-CMA代价函数的解析性能，即当目标用户的幅度≥1/时，LC-CMA的代价函数具有非负定性，有唯一的全局最小点。而对于正定二次型，用拟牛顿法和精确一维搜索，有限次(≤n)迭代即可收敛到代价函数的最小点(n变量x的维度)[4]。

综合以上几点，本文提出了基于拟牛顿法的LCCMA算法，称之为LC-QNCMA。

1 信号模型

同步基带DS-CDMA系统,用户数为K,接收信号为:

式（1）中sk(t)的表达式如下：

式(2)中，码片（chip）周期Tc、比特周期T以及扩频增益N三者满足NTc＝T；(,…,)为第k个用户的扩频码，取值±1；p是码片波形。

接收信号r(t)通过chip匹配滤波器后，以chip速率采样得到的接收信号为：

其中sk=(1/)[…,]T是第k个用户归一化扩频向量，A＝diag(A1,…,AK)是幅度矩阵；r＝[r0,…,rN-1]T；n＝[n0,…,nN-1]T是噪声向量，且E{n}=0，E{nnT}=σ2IN。 假设{s}线性无关，即扩频码矩阵 S＝[s,…,s]列满秩。

k1K因此，接收机的输出为:

2 LC-QNCMA算法

LC-CMA是使下面的非线性代价函数最小化[4]。

式(5)中w为滤波器抽头系数。wTs1=1是约束条件。根据参考文献[4-5]，该条件等价于:

其中，s1为期望用户的方向向量，x是滤波器的新的更新权向量，其维数与 w 相等，B 满足 B＝BT＝IN－，（IN为单位阵）。代入式（5）可转化为关于x的函数：

其对x的一阶导数为：

拟牛顿算法是一类最优化算法，DFP算法是具有代表性的一种[4]，有较好的收敛性能，故本文采用DFP拟牛顿算法。

根据算法公式[4]，滤波器新的权向量x的更新公式如下：

其中：

因此，LC-QNCMA的算法步骤如下：

(1) 初始化 w0、x0、μ，B，令m＝0；

(2) 计算ym=，em=4ym(|y|2-1)，gm=emBr；

(3)pm=-Hmgm

(4) 令 xm+1＝xm+μ·pm，m=m+1 转步骤(2)。

分析算法步骤可知，新算法仅涉及向量内积和数值运算，复杂度为O(N2)。相比之下，新算法的复杂度降低了一个数量级。

拟牛顿算法利用二次函数模型对目标函数做近似，实现了算法的快速收敛。在计算过程中(步骤3)对Hesse矩阵采用了简化处理，使得每一步迭代所需的时间有所降低。然而拟牛顿法在迭代时对步长仍有很强的依赖性，这导致算法的效率达不到理想状况，在第3节的仿真分析中将详细分析。

3 算法仿真及性能分析

3.1 步长对算法收敛性能的影响

考虑同步DS-CDMA系统，AWGN信道，2PSK信号，31 bit Gold扩频码，用户数K＝5，目标用户为用户 1，其幅度A1＝1，多址干扰MAI(k)=10lg=10 dB，k=2～5，输入信噪比 SNR＝10lg/σ2，分别取 10 dB及 20 dB，步长μ 分别取 0.000 5、0.001 和 0.005，初始值均为 w0＝s1。 算法的收敛标准：若相邻两次迭代的MSE值的差小于0.000 01时，认为算法收敛。不同步长 μ下的MSE曲线如图1所示，迭代次数如表1所示。

从图1和表1可知：算法的收敛速度会随着步长增大而加快，稳定性也随之下降，当μ的值超过某个值后，算法发散性能急剧恶化。这与LC-CMA相似，即算法对步长有较强的依赖性。

表1暴露的另一个问题是,无论迭代步长如何选取，算法总不能理论范围内实现收敛。上文提到，对于正定二次函数，采用拟牛顿法和精确一维搜索，有限次（≤n）迭代后即可收敛到代价函数的极小值点。本次仿真实验中，滤波器的权矢量w以及新向量x的维数为系统的扩频增益31。理论上算法收敛所需的迭代次数应在31以内。其原因是,对于正定二次函数，用拟牛顿法和精确一维搜索可实现二次终止。所谓精确一维搜索，即算法每步的步长须根据当前的搜索方向精确计算，而本文中采用定步长，不能保证每次的步长均适合下降方向，这是算法不能在理论范围内收敛的根本原因。

表1 不同仿真环境下的收敛速度

3.2 LC-QNCMA的性能仿真

沿用3.1节的系统，LC-CMA和LC-QNCMA的步长采用3.1节的经验数据0.001，LSCMA需进行矩阵求逆，不需要考虑步长。采用信干比（SIR）作为算法性能的依据为：

考虑信号、信道等诸多因素的随机性，本次实验采用100次运行的平均。

图2是 SNR分别取10 dB、20 dB时的 SIR图。可以看出：(1)性能方面，低信噪比时(10 dB)，LC-QNCMA与LSCMA有差距，随着信噪比提高(20 dB)，两者性能相差不大，但都远优于LC-CMA；(2)收敛速度方面LC-QNCMA略低于LSCMA，远高于LC-CMA。

考虑到不同的算法每次迭代的时间不同，迭代步数不能完全说明收敛速度。因此，对算法收敛的CPU时间做比较(CPU时间由Matlab函数cputime获得),如表2所示。

表2 SNR＝10 dB和20 dB时的收敛时间比较

结合图2、表2可以看出，虽然LSCMA收敛所需的迭代次数较少，但每次迭代涉及矩阵求逆，需要大量计算，因而算法每次迭代和整体收敛所花费的CPU时间均较长；LC-CMA算法简单，每次迭代的时间短，但迭代次数多，整体时间也比LC-QNCMA略长。

图3是三种算法对用户数变化的跟踪性能的比较图。期望用户的信噪比为10 dB。迭代次数在1～199期间内，有4个干扰用户，SNR为20 dB和30 dB的用户各2个（分别是用户 2、3和用户 4、5）。 在 k=200时，有 SNR为25dB和35 dB的用户6、7同时加入系统。而当k=350时，有一个SNR为30 dB的用户和两个SNR为20 dB的用户同时离开系统。可见，LC-QNCMA对用户数动态变化环境的跟踪能力与LSCMA相差无几，明显高于LCCMA算法。

图4是三种算法在用户数K=5及多址干扰MAI为10 dB时的误码性能比较图(采用10 000个符号的平均),以单用户曲线为参照。从图中可见,本文提出的LCQNCMA的BER性能仅略低于LSCMA,但明显优于LCCMA。

考虑移动通信系统接收端的实际应用，将线性约束常模算法与拟牛顿法相结合，提出了基于拟牛顿法的线性约束模算法，称之为LC-QNCMA。该算法在实现全局收敛的同时降低了算法的复杂度,提高了收敛速度。仿真结果显示，与LSCMA相比，LC-QNCMA以牺牲较小的算法性能换取了算法复杂度的降低。而且随着硬件条件的不断提升，LC-QNCMA单次迭代所需时间将进一步降低，其收敛速度将会得到进一步提升。LC-QNCMA算法在LC-CMA算法与LSCMA算法之间取得了较好的折中效果。

参考文献

[1]MOSHAVI S.Multi-user detection for DS-CDMA communications[J].IEEE communication magazine,1996,34(10)：2425-2432.

[2]JOHN R,AGEE B.A new approach to multipath correction of constant modulus signals[J].IEEE Trans ASSP,1983,31(2)：459-471.

[3]AGEE B.The least squares cma：a new technique for rapid correction of constant modulus signals[A].Proc ICASSP[C].USA：ICASSP,1986:953-956.

[4]解可新，韩健，林友联.最优化方法[M].天津：天津大学出版社，2004.

[5]MIGUEZ J,CASTEDO L.A linearly constrained constant modulus approach to blind adaptive multiuser interference suppression[J].Communications Letters,IEEE,1998,2(8):217-219.

[6]Xu Changjiang,Feng Guangzeng.Comments on a linearly constrained constant modulus approach to blind adaptive multiusers interference suppression[J].IEEE Communications Letters,2000,4(9):280-282.

[7]傅洪亮，酆广增.线性受限最小二乘恒模盲多用户检测算法[J].信号处 理,2005,21(5)：490-493.

[8]张贤达，保铮.通信信号处理[M].北京：国防工业出版社，2000.