基于支持向量机的复合柱体目标参数反演

张清河 汪 洋 陈将宏

(三峡大学理学院，湖北 宜昌 443002)

引 言

随着金属/介质复合结构目标(如有耗介质覆盖导体目标、微波传输带、天线-天线罩系统等)的广泛应用，其散射特性的研究近年来得到了很大的关注。自然地，其逆散射方面的研究也就显得十分迫切和重要。目前关于金属/介质复合结构目标电磁逆散射方面的文献报道很少，采用传统的优化迭代方法，一方面由于目标结构的复杂性，其正演的计算较单纯导体或介质目标的计算要复杂一些；另一方面，目标结构的复杂造成逆散射问题的非线性更强，同时，目标函数、优化变量增多，导致迭代很慢或不收敛，严重费时，不利于对目标的实时反演。对于金属/介质复合结构目标电磁逆散射中正演问题的计算，可采用许多比较成熟的算法，如矩量法(MoM)、有限元法(FEM)、时域有限差分法(FDTD)等。在本文中，我们采用基于矩量法的混合体-面积分方程法(VSIE)来求解正散射问题。同时，应用稳定的双共轭梯度结合快速傅里叶变换技术(BCG-FFT)来加速矩阵方程的求解。

近十年，人工神经网络(ANN)技术在电磁逆散射问题研究中得到了广泛的应用[1-5]，包括基于频域信息或时域信息、自由空间目标或半空间埋地目标、单纯导体目标或单纯介质目标等。由于神经网络学习方法基于经验风险最小化准则，对于未经训练的新数据，其泛化能力较差，存在过学习、局部最优等问题，使得该方法在逆散射问题中的应用研究停滞不前。最近，一种新的人工智能技术-支持向量机(SVM)被应用到电磁逆散射领域。在文献[6]-[7]中，作者分别以FEM、FDTD作为前向算法，以散射场幅值和相位为训练样本信息，应用SVM在频域研究了半空间埋地目标的逆散射问题，包括埋地目标中心坐标的探测、电磁及几何参数的重构等。SVM是Vapnik等在统计学习理论(SLT)基础上发展起来的一种机器学习算法[8]，它不同于神经网络等传统方法以训练误差最小化作为优化目标，而是以训练误差作为优化问题的约束条件，以置信范围值最小化作为优化目标。因此，SVM的泛化能力要明显优越于神经网络等传统学习方法。另外，SVM的求解最后转化成二次规划问题的求解，因此，SVM的解是唯一的、也是全局最优的。正是上述两大优点，使SVM一经提出就得到了广泛的重视。

基于混合体-面电场积分方程，运用BCG-FFT方法作为电磁逆散射问题的前向算法，在此基础上，利用SVM这一人工智能技术研究了金属/介质复合结构目标电磁逆散射问题，实时重构了复合目标的几何、电磁参数。

1 理论分析

1.1 混合体-面积分方程

一金属/介质复合结构目标在入射场Ei照射下，其散射场Es为

Es(r)= -jωAS(r)-ΦS(r)-

jωAV(r)-ΦV(r)

(1)

式中：AS，AV，ΦS，ΦV分别是导体表面感应JS和介质体内极化JV产生的磁矢位和电标位，

(2)

u=S，V

(3)

在介质体内，体电流JV与总场的关系为

(4)

而

Etotal(r)=Ei(r)+Es(r)

(5)

由导体表面边界条件有

(Ei(r)+Es(r))tan=0，r∈S

(6)

将式(5)代入式(4)，得到

(7)

(8)

对于矩阵方程(8)的求解，随着计算机技术的发展，一些快速算法获得了广泛的应用，如共轭梯度-快速傅里叶变换方法(CG-FFT)[9]、快速多极子方法(FMM)[10-11]、多层快速多极子方法(MLFMA)[12-13]、自适应积分法(AIM)[14]等。本文采用稳定的双共轭梯度结合快速傅里叶变换(BCG-FFT)方法[15]，在BCG迭代过程中，需要大量计算矩阵与向量的乘积，考虑到方程(8)中子矩阵Ztu(u=S，V，t=S，V)分别为二重或三重Toeplitz矩阵，它们与向量的乘积可用FFT加速，只需存储其第一列元素，从而有效地减少计算机内存需求和计算时间，为电磁逆散射问题的求解提供了高效的正演算法。

1.2 回归估计的SVM方法

(9)

(10)

该ε不敏感损失函数被形象地比喻为ε管道，训练的目的是使回归估计函数F(e)与目标值之间的距离小于ε.对所有训练样本，回归估计函数F(e)与目标值之间的距离可表示为

(11)

运用拉格朗日乘子法可将方程(11)的最小化问题转化为一个凸二次规划问题，即[16]

(12)

方程(12)可采用常规的优化技术进行求解，本文采用一种高效的优化算法-顺序优化算法(SMO)[17]，减少了SVM的训练时间及计算内存。方程(9)中的参数b可在方程(12)的Karush-Kuhn-Tucker最优化条件(KKT条件)下计算得到[16]。

2 数值结果与分析

2.1 复合目标散射BCG-FFT算法验证

采用BCG-FFT方法计算了两个有意义的二维金属/介质复合结构目标的电磁散射特性，并与FDTD方法作比较，验证本文正散射问题方法的正确性。

2.1.1 不均匀介质覆盖导体圆柱

单位强度TM波沿x轴(设柱体轴线为z轴)入射到无限长不均匀介质覆盖导体圆柱上，导体半径为0.2λ，介质厚度为0.1λ，介质由两种组成，相对介电常数分别为εr1=4.0，εr2=20.0.介质1处于x轴下方，介质2位于x轴上方。图1给出了目标的双站雷达散射截面σ(用波长归一化)。图中还给出了FDTD的计算结果，两者符合得较好，但在200°～250°范围内出现了一定的偏差，一方面可能是由于采用简单的矩形及立方体剖分，另一方面采用中心点匹配，降低了精度。

图1 两种介质覆盖金属圆柱的双站

2.1.2 金属/介质组成复合方柱

单位强度TM波入射到一金属/介质复合方柱目标，入射角φ=270°，目标一半是导体(左边)，一半是介质(右边)，金属和介质的截面都是边长为0.2λ的正方形，介质的相对介电常数为4.0.图2给出了目标的σ.所得结果与文献[18]的结果一致，图中还给出了FDTD的计算结果。

图2 金属介质复合方柱的双站

2.2 复合目标几何、电磁参数重构

2.2.1 介质覆盖厚度及相对介电常数重构

一单位强度TM平面波(f=1 GHz)垂直照射内、外半径分别为a、b的无耗介质覆盖导体圆柱，a=λ/6.假设b的取值范围为7～23 cm，εr的取值范围为1.5～5.0.在支持向量机的训练阶段，提供了135个训练样本，分别对应目标参数b=7.0+2ncm，n=0，1，…，8及εr=1.5+0.25n，n=0，1，…，14.为了准确而完备地获得目标的散射场，设置了12个散射场观测点，均匀分布在距离目标中心半径为λ、长为3πλ/2的圆弧上，样本信息为观测点散射电场的幅值，可用解析的方法直接得到。经过适当的训练，建立了重构介质覆盖厚度及相对介电常数的SVM逆散射模型，其结构参数分别为(ε，C，σ2)εr=(0.001，999.854 5，0.246 0)及(ε，C，σ2)b=(0.001，1 004.686 7，0.244 1).在测试阶段，测试样本数为96个(不同于训练样本)，分别对应目标参数b=8.0+2ncm，n=0，1，…，7及εr=1.55，1.80，2.05，2.30，2.55，2.76，3.05，3.30，3.80，4.50，4.55，4.90.图3(a)、(b)分别给出了复合圆柱目标介质的相对介电常数、覆盖厚度的重构值与实际值的比较示意图，表1是重构值与实际值的误差统计。从表1来看，基于SVM方法的相对介电常数、介质覆盖厚度的重构均获得了较好的结果，其平均相对误差都不超过2%.作为比较，在相同的“条件”下(相同的训练样本、相同的测试样本)，还利用ANN方法进行了反演。在该方法中，网络模型为三层BP神经网络(BPNN)[19]，网络结构为12-24-2，BP网络训练算法为L-M训练算法，隐含层激活函数为对数型sigmoid函数。图4(a)、(b)分别给出了基于BPNN的相对介电常数、介质覆盖厚度的重构结果，表2是误差统计。

表1 基于SVM的复合圆柱介质相对介电常数、 覆盖厚度反演误差

(a) εr

(b) b图3 基于SVM方法的重构值与实际值

(a) εr

(b) b图4 基于BPNN(12-24-2)方法的重构值与实际值

平均绝对误差最大相对误差平均相对误差εr0.06028.00%2.18%b/cm0.181910.94%1.81%

从表1和表2来看，虽然ANN方法也获得了较好的重构结果，但在相同的训练样本和样本信息条件下，SVM的重构精度要全面优于ANN方法，这也表明了前文所说的SVM的泛化能力要优越于神经网络等传统学习方法。

2.2.2 复合圆柱内、外半径和相对介电常数重构

本算例中要重构的参数为复合圆柱中金属的半径a、介质的半径b及相对介电常数εr，设介质的电导率σ=0.005 S/m.几何模型与上例相同，同样设置12个散射场观测点，样本信息为观测点散射电场的幅值，利用BCG-FFT方法快速得到。总共216个训练样本提供给SVM训练学习，分别对应于目标参数εr=1.5+1.0n，n=0，1，…，5；a=2.0+2.0ncm，n=0，1，…，5及b=14.0+2.0ncm，n=0，1，…，5.经过适当的训练，用于重构复合圆柱内、外半径及相对介电常数的SVM逆散射模型的结构参数分别为(ε，C，σ2)εr=(0.001，999.153 1，0.226 2)、(ε，C，σ2)a=(0.001，999.907 9，0.226 5)及(ε，C，

(a) εr

(b) a

(c) b图5 基于SVM方法的重构值与实际值

σ2)a=(0.01，999.211 1，0.226 2).测试样本数为125个，重构参数的取值范围分别为2.0～6.0、3.0～11.0 cm和15.0～23.0 cm，均不同于训练样本。图5(a)、(b)及(c)分别给出了3个参数的重构值与实际值的比较，表3给出了相应的误差统计。

表3 基于SVM的复合圆柱内、外半径以及相对介电常数重构误差统计表

同样地，在相同的条件下，基于BPNN(12-24-3)方法的重构误差见表4.

表4 基于BPNN(12-24-3)的复合圆柱内、外半径以及相对介电常数重构误差统计表

从表3和表4来看，SVM方法要优于BP神经网络，且在对εr重构时，两种方法均产生较大的误差，随着εr值的增大，误差呈增大的趋势，这可以解释为随着εr值的增大，目标愈表现为强散射体的特征。

2.2.3 复合方柱相对介电常数、导体宽度重构

在本算例中，考虑一个二维金属/介质复合方柱目标参数重构问题(见图2)。复合目标一半是导体(左边)，一半是介质(右边)，目标高度为20 cm，目标宽度为30 cm，其中导体的宽度为a，假设介质是一无耗介质，相对介电常数为εr.与上两例相同，入射波仍为单位强度TM平面波(f=1 GHz)，同样设置12个散射场观测点，均匀分布在距离方柱截面中心半径为λ、长为3πλ/2的圆弧上。对于样本信息，我们设计了两种方案，一种是12个观测点散射电场幅值作为样本信息，另一种是把散射电场的幅值和相位作为样本信息。训练样本数240个，分别对应目标参数εr=1.5+0.25n，n=0，1，…，14和a=5.0+1.0ncm，n=0，1，…，15.测试样本数144个，对应的重构参数是εr=1.55，1.80，2.05，2.30，2.55，2.76，3.05，3.30，3.80，4.50，4.55，4.90，a=6.5+1.0ncm，n=0，1，…，11.基于幅值信息的SVM重构误差为：Relerr(εr)max=0.49%，Relerr(εr)ave=0.10%；Relerr(a)max=7.88%，Relerr(a)ave=4.58%.基于幅值和相位信息的SVM重构误差为：Relerr(εr)max=0.48%，Relerr(εr)ave=0.08%；Relerr(a)max=7.85%，Relerr(a)ave=4.58%.其中Relerr()max表示最大相对误差，Relerr()ave表示平均相对误差。

3 结 论

研究了二维金属/介质复合结构目标的电磁逆散射问题。采用BCG-FFT方法快速求解复合结构目标电磁散射正问题，为训练样本的获得提供了高效率的途径。逆问题应用SVM方法，分别重构了复合圆柱、复合方柱目标的几何、电磁参数。从重构的结果和误差分析来看，一般说来，基于SVM的逆散射结果要优于BP神经网络的结果，从而为电磁逆散射研究提供了一种有效的方法。同时，在训练样本较为完备的条件下，对于SVM，适当丰富样本信息并不能明显提高重构的精度。

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