基于时域多分辨法微带线串扰分析

赵孔瑞 于长军 周共健 权太范

(哈尔滨工业大学电子与信息工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

引 言

时域有限差分法(FDTD)是电磁场数值计算最流行的计算方法之一，几乎被应用到电磁场工程中的各个方面[1-3]。虽然，FDTD法有突出的优越性，但是存在数值色散特性，计算电大目标时会导致明显的误差，同时由于网格区间离散化使得网格数目巨大，消耗大量的存储空间和CPU时间。20世纪90年代引入小波多分辨思想的时域多分辨分析方法(MRTD)被提出来[4]，并得到了基于Battle-Lemarie尺度函数的多分辨分析法。MRTD是将电磁场用尺度函数或小波函数作为基函数展开，采用小波伽辽金法[5]对麦克斯韦(Maxwell)方程进行离散化，得到一种与FDTD法有关又有深刻意义的全新时域计算方法。与FDTD法相比，MRTD具有良好的数值色散特性[6]，减少了计算网格数，使电磁场时域计算效率大大提高。

MRTD法与FDTD法相类似，一个重要的问题就是吸收边界条件的处理，吸收边界直接影响到MRTD计算是否精确。1996年Gedney S D提出了各向异性理想匹配层(APML)吸收边界条件[7]，与Berenger完全匹配层[8]相比，APML能应用于一般形式的Maxwell方程中，物理机制明确。在MRTD实现时，不需要像Berenger完全匹配层那样进行场分裂和额外的分裂场中间变量，减小了数值实现的难度和计算机内存使用。在MRTD算法中，常用Haar小波、Battle-Lemarie小波和Daubechies小波的尺度函数作为基函数[9-10]，这些基函数在应用时本身具有缺陷，比如Haar尺度函数不具有连续性，影响了数值特性；Battle-Lemarie尺度函数不具有紧支性，在截断近似时引入了截断误差；Daubechies尺度函数虽紧支但不具有对称性，不具有线性相位。综合以上分析，本文采用具有紧支撑和对称性的CDF(2,6)尺度函数作为基函数得到APML的MRTD形式，由于CDF(2,6)尺度函数同时具备紧支撑、消失矩和对称性，紧支撑减小了考虑的项数、简化了计算和吸收边界的处理难度；对称性保持了线性相位，防止分解和重构时产生失真。

目前，MRTD在波导电路、滤波器、散射特性分析等领域[11-12]有较多应用。1999年袁征宇等将MRTD算法在Mur’s吸收边界条件下对无限长微带线进行了计算[13]，但是MRTD算法在微带线串扰分析上几乎空白，集总元件的模拟问题需要解决。因此，基于CDF(2,6)的MRTD算法分析某高频地波雷达控制系统印刷电路板上两根平行微带线的串扰问题。仿真结果表明：与传统的FDTD法相比，具有计算速度快、精度高、内存使用少等优势。

1．理论分析

1.1 基于CDF(2,6)尺度函数的APML吸收边界

对各向异性无损耗媒质空间，Maxwell方程的表达式为

(1)

(2)

式(1)和式(2)定义了APML媒质张量系数的时谐Maxwell方程。式中

(3)

式中变量s定义为

(4)

由于APML中媒质色散并且为各向异性，为得到MRTD的高效表示，必须采用辅助差分方程法。以式(1)和式(4)为例，APML中安培定律表示为

(5)

为简化计算引入中间变量，令

(6)

(7)

(8)

式(5)可表示为

(9)

将式(4)代入式(9)，进行傅里叶反变换得到时域形式为

(10)

以式(6)中Dx为例从频域到时域转换可得

(11)

为了得到APML的MRTD格式，以式(10)的第一个微分方程

(12)

为例。

将Maxwell方程中的电场和磁场分量用CDF(2,6)尺度函数展开，可得

(13)

(14)

φi+0.5(x)φj(y)φk+0.5(z)

(15)

φi+0.5(x)φj+0.5(y)φk(z)

(16)

h和φ可以为各类尺度函数，在时间上定义h(t)为Haar尺度函数，hn(t)、φi(x)定义为

(17)

(18)

将式(13)～(16)代入到式(11)和式(12)中，再应用小波伽辽金法，将hn+0.5(t)φi+0.5(x)φj(y)φk(z)作为权函数对式(11)和式(12)进行检验，可得到以下两式

(19)

(20)

式(19)和式(20)为方向电场分量的MRTD迭代形式，其他电场分量和磁场分量采用类似方法也可以得到MRTD下的显式递推公式。α(l)在l>0时的取值如表1所示。

表1 CDF(2,6)尺度函数对应的α(l)

由于CDF(2,6)尺度函数是紧支撑的，a(l)是有限长，l≤0时的值可由a(l)=-a(1-l)得到。其中

a(l)的值可由数值积分得出。

1.2 MRTD下集总元件模拟

实际微带电路的电磁场问题包含激励和负载，需要恰当地将激励源和负载引入到MRTD网格中以正确地模拟电磁场问题。在FDTD中，集总元件的模拟已经采用扩展Maxwell方程法[14-15]得到了很好的解决。在MRTD形式下，采用与其相似的方法得到适用于任意尺度函数的集总元件模拟方法。

假设集总元件尺寸小于一个元胞的大小，在磁场旋度方程中增加集总元件电流JL，JL项代表集总元件的贡献，得到如下扩展方程

(21)

式中：JC=σE为传导电流，而JL为集总元件电流。设JL沿ez方向，JL与集总元件总电流IL之间的关系为

(22)

于是，Ez分量的FDTD关系为

(23)

式中设集总元件处于介质基板中，介质基板的电导率σ=0，传导电流JC=0，且集总元件电流IL位于Ez节点位置,集总元件的位置为真空，该点的介电常数ε=ε0.假使微带线负载为阻抗电压源，源电压为Us，内阻为Rs，IL的值为

(24)

式(23)变为

(25)

将Ez分量及Hx、Hy以CDF(2,6)尺度函数展开代入式(25)，并用小波伽辽金法检验得到MRTD下的差分格式为

(26)

对于电阻R的模拟，将Us值置零即可得到只有电阻时的MRTD差分格式，该迭代式适用于任意尺度函数。

2． 实验结果分析

2.1 吸收边界条件验证

为了验证MRTD下APML的正确性，对平行微带线进行建模仿真，模型如图1所示。

图1 平行微带线串扰模型平面图

微带线宽W=3.2 mm；

微带线长度L=40 mm；

微带线间距S=9.6 mm；

基板厚度H=1.6 mm；

基板的相对介电常数εr=4.4.

为防止因网格间距过大引起不必要的数值反射，FDTD网格间距要小于最小波长的十分之一，因此,选取如下网格参数：

FDTD网格间距Δx=Δy=Δz=0.2 mm；

MRTD网格间距Δx=Δy=Δz=0.4 mm；

为了分析近端和远端串扰系数随频率的变化，需要激励源具有宽带特性，选择电压源为高斯脉冲Vs(t)=V0e-(((t-t0)/T)2)，其中，T表示高斯脉冲的脉冲宽度，为了使高斯脉冲在t=0时近似为零，近似激励从零开始激励，选取t0=3T，仿真过程中选取T=30 ps，V0=1.电压源的内阻设为50 Ω，当阻抗匹配时，微带线的负载也为50 Ω.为了验证基于CDF(2,6)尺度函数的APML的吸收效果，模拟在上述阻抗电压源激励下无限长微带线，计算的端口电压如图2所示。

图2 MRTD和FDTD下的无限长微带线电压值

由图2结果可知：无限长微带线经阻抗电压源激励后，电场和磁场随着时间的传播，电压值逐渐衰减为零，几乎没有产生反射，说明基于CDF(2,6)的APML具有良好的吸收效果；同时，电磁场在微带线上传播到峰值处时，基于CDF(2,6)的MRTD计算得到的峰值更接近激励源的峰值，这是因为尺度函数对称性保持了线性相位，防止分解和重构时产生失真。可见本文提出的MRTD算法具有良好的吸收效果，且能更精确地模拟集总元件的物理特性。

2.2 近端串扰和远端串扰系数计算

仍然采用上述模型计算，得到MRTD和FDTD下近端串扰系数和远端串扰系数如图3和图4所示。

图3 MRTD和FDTD下的近端串扰系数S31对比

图4 MRTD和FDTD下的远端串扰系数S41对比

由图3和图4的仿真结果可知，基于APML吸收边界的MRTD法计算结果与FDTD结果基本一致，从而验证了该算法的正确性，同时该方法相比广泛应用的基于分裂场的PML吸收边界条件减小了中间变量的使用，简化了MRTD下吸收边界的处理难度，可以应用到微波电路的分析当中。又因为MRTD算法中采用的网格间距是FDTD下网格间距的2倍，所以MRTD的网格数目成级数倍数减小，计算效率得到了提高，两种算法计算效率对比如表2数据所示。

表2 MRTD与FDTD算法计算效率对比

由表2可知，MRTD与FDTD网格总数目为1∶8，模型仿真运行时间比为1∶3.35.可以说明，MRTD相比FDTD具有更高的计算效率，FDTD法因为数值色散性质的限制，网格尺寸不能取的太大，然而对于非单位长度紧支撑长度的尺度函数，MRTD在每个波长的采样间隔在理论上可以达到奈奎斯特采样极限，所以MRTD计算大目标可以以几何级的量级节省计算机内存，是解决复杂电大目标电磁场数值计算问题的有效计算方法。

3． 结 论

以高频地波雷达电子设备印刷电路板(PCB)介质板的电磁兼容研究为背景，研究了MRTD的计算精度和效率问题。

1) 推导出了CDF(2,6)下基于APML的MRTD法，因基函数CDF(2,6)具有紧支性和对称性，该基函数下的APML相比较广泛应用的Berenger完全匹配层避免了电磁场的分裂，减小了数值实现的难度，保持了计算精度；尤其是处理复杂的电大尺寸目标电磁计算具有明显的优点。

2) 为了对微带线串扰模拟，根据扩展Maxwell方程得到了适用于任意尺度函数的MRTD电阻和阻抗电压源迭代格式，并应用到微带线的串扰中。

3) 把MRTD法首次应用于PCB板上平行微带线串扰的仿真计算中。仿真结果表明：与传统的FDTD相比，其仿真结果基本一致。但基于CDF(2,6)尺度函数的MRTD法需要的网格数只有FDTD法的一半，计算速度提高了3倍，节省了计算机内存、提高了计算速度。

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