非规则准循环OOC-LDPC码在图像传输中的应用

王士全，候春雷

(山东省聊城市71901部队，山东聊城252000)

低密度奇偶校验(LDPC，low-density parity-check)码［1］是一种基于图和迭代译码的信道编码方案，在AWGN信道下具有接近香农极限的性能，加上其具有较低的差错平底特性，可实现完全并行操作，译码复杂度低于Turbo码，适合硬件实现，吞吐量大，极具高速译码的潜力，因此受到越来越多的研究者的关注。

在Gallager提出的规则LDPC码的基础上，Luby等人构造了非规则码［2］，并证明了非规则码的性能优于规则码。非规则LDPC码中，各节点的度并不相同，译码时存在波浪效应，度数高的比特节点成功译码的概率大，因此非规则LDPC码具有内在的不等错误保护(UEP，unequal error protection)性能。

本文在简要介绍非规则LDPC系统编码的基础上，分析了非规则准循环00C-LDPC码的构造方法，并将其应用到SPIHT压缩编码的图像传输中，然后在AWGN信道下进行了仿真验证。

1 非规则LDCP码系统编码

设M行N列校验矩阵H可以分成两个子矩阵A和B，其中A为M×M矩阵，B为M×(N－M)矩阵，即:

H=［A|B］经高斯消元后，矩阵H变换为:

H=［A|B］→［I|P］，其中 P=A－1B，I为单位矩阵，相应的生成矩阵为:G=［PT|I］，其中T表示矩阵转置，假设信源经系统编码后的码字为u=［c|s］，u为生成的码字，c为校比特，s为信息比特。

所以 I*c'+P*s'=0，I*c'=P*s'(在 GF(2)上)。所以c'=P*s'。再由u=［c|s］即可得到编码后的码字。如果高斯消元过程中进行了列交换，则只需记录列交换，并以相反次序对编码后的码字同样进行列交换即可。解码时先求出u，再进行列交换得到uu=［c|s］，后面部分即是想要的信息。

由上面的系统编码过程可以看出，校验矩阵的左侧对应码字的校验比特，校验矩阵的右侧对应码字的信息比特。如果将校验矩H的节点按度数由低到高从左到右排列，重要信息的比特放在矢量s的右侧，则重要信息对应校验矩阵度数高的节点，便可得到较高的保护，从而可对信息进行不等差错保护。

2 非规则准循环OOC-LDPC码的构造

构造具有UEP性能LDPC码的校验矩阵H时，通常采用随机构造的方法，然后进行列置换，将校验矩阵H列重相同的列排在一起然后按列重由低到高进行排列。这种方法构造的校验矩阵，没有一定的编码结构，不利于硬件实现。而即将介绍的OOC(Optical Orthogonal Code)-LDPC码既具有码率和码长选择的灵活性又具有循环或准循环结构，编码远比随机构造的LDPC码简单，利于硬件实现。有结构的LDPC码还可以有效消除双向图中的短环，因此也显示了比随机LDPC码更好的性能。

2.1 光正交码的定义与构造

光正交码是为码分多址光纤设计的一种码，它最早由Salehi、Chung 和 Wei［3］提出，并且立刻得到人们关注的一种实用编码。

光正交码定义为:一族(n，ω，λ)光正交码 V={V(1)，V(2)，…V(p)}，就是由一组互异、长度为n、重量为 ω 的(0，1)序列所组成的集合，并且每个码字的循环自相关函数和任意两个互异的码字和之间的循环互相关函数分别满足下式:

光正交码也可用集合的观点来描述，(n，ω，λ)光正交码由一组集合组成，每个集合对应一个码字，它有ω个元素，而每个元素取自小于n的全体非负整数集Zn，元素值表示光正交码字的非零位。此时，其相关特性为:

其中 V(1)、V(2)∈V，s1、s2是任意整数，并且 s1≠s2(modn)，V(i)+s={(x+s)(modn)|x∈V(i)}。

设x=(x0，x1，…，xn－1)是汉明重量为 ω 的二元向量，用集合表示为 x={a1，a2，…aω}，ai∈Zn，x 的第 i次邻集 Xi可定义为:

Xi={xi，1，xi，2，…，xi，ω－i}，其中 xi，j=aj+i－ aj，1≤j＜ω－i。用ΔX表示x的各次邻集的集合:

ΔX={X1，X2，… Xω－1}={x1，1，x1，2，… x1，ω－1，x2，1，x2，2，…x2，ω－2，xω－1，1}，并且有向量集 V，定义集合 ΔV 为:

(2)取正整数m和P，让码集V={xr}，xr用集合表示为，码长为 N 汉明重量为 ω 的码集V有:

(3)正整数m的选取必须满足如下的两个条件:

通过对n0、m和P的不同选择，便可得到码字数和码长都不相同的一族光正交码，m和x0的选取可通过计算机搜索得到。

2.2 矩阵行、列分解技术

设有行、列重为 δ的 n×n循环矩阵 G，让 ω1，ω2，…，ωi是正整数集，并满足 ω1+ω2+… + ωt= δ，其中 1≤t≤δ，t称为列分解因子。G能分解成t个n×n循环矩阵G1，G2，…Gt，称这t个矩阵为列分解子矩阵，各列分解子矩阵Gi的行、列重为ω1，ω2，…，ωt。这样对G进行列分解后得到下面新的n×tn阶矩阵:

对式(11)中的 D 可以进一步进行分解。让 ωi，1，ωi，2，…，ωi，c是正整数集，并满足 ωi，1+ ωi，2+ …，ωi，c= ωi。其中，1≤i≤t，1≤c≤max(ωi:1≤i≤t)，c称为行分解因子。式(11)的矩阵D中的子矩阵Gi能进一步分解成c个n×n循环矩阵 Gi，1，Gi，2，…，Gi，c，这 c 个矩阵称为 Gi的行分解子矩阵，各行分解子矩阵 Gi，j的行列重为 ωi，1，ωi，2，…，ωi，c。这样式(11)

2.3 非规则准循环OOC-LDPC码构造

设新构造的 LDPC码的校验矩阵 H为 H(1)，H(2)，…，H(m)，H=［H(1)，H(2)，…，H(m)］，H(i)为 n × n 的循环矩阵。n×n的循环矩阵可以用矩阵的第一行经n－1次循环得到。校验矩阵H的列重分布为γ=［γ1，γ2…γm］。其中γi是矩阵H(i)的列重。构造过程如下:

(1)根据校验矩阵H的码长及最大列重，选择不同的n(0)、m、ω和P，构造出符合要求的光正交码。

(2)设含有P个码字的(n，ω，1)光正交码集V用集合表示为 V={V(1)，V(2)，…，V(P)}，其中当 P≥m 时，取 V(i)中的 γi个元素构成循环矩阵H(i)的第一行1≤i≤m。当 P ＜m 时，并且有 γi+ γj≤ω(1≤i，j≤m，i≠j)，可将V(i)拆分成两个集合来构成两个循环矩阵的第一行。这样便可构造出码长N=nm码率为(m－1)/m准循环OOC-LDPC码，当校验矩阵H的各子矩阵H(1)，H(2)，…，H(m)的列重相同时便可构造出规则准循环OOC-LDPC码，列重不同时便可构造出非规则准循环OOC-LDPC码。

(3)如果需要具有不等差错保护性能的非规则OOCLDPC码，只需按各子矩阵的列重由低到高进行排列即可。

(4)以上构造的校验矩阵H的码率为(m－1/m)，利用矩阵行、列分解技术，根据需要取不同的列分解因子t和行分解因子c，对矩阵进行行、列分解。

3 非规则准循环OOC-LDPC码在图像传输中的应用

分层小波树集合分割(SPIHT:Set Partitioning In Hierarchical Trees)图像压缩编码［4］，利用小波变换将图像低频信息集中在左上角，并通过层次树集合划分，对重要信息进行优先编码，这使得编码后的码流具有按重要性排序的特性，使信道编码很容易对重要信息和非重要信息分别编码。非规则LDPC码本身具有不等保护特性，利用这一性质对SPIHT的图像压缩编码进行不等保护，可在不增加额外费用的情况下提高系统性能。

3.1 系统设计方案

图像传输系统框图如图1所示，原始图像使用512×512标准Lena灰度图像，经小波变换后，采用0.3比特/像素的SPIHT压缩编码，然后进行LDPC编码，发送到信道前进行BPSK调制，信道中加入高斯白噪声，然后是一个逆过程。

图1 图像传输系统框图

由于仿真条件限制，仿真中采用的是由(799，7，1)光正交码构造的非规则准循环OOC-LDPC码，码率为3/5，码长为 3995。光正交码用集合表示为:V={V1，V2，V3，V4，V5，V6}={{0，3，4，12，18，23，25}，{0，28，54，87，118，148，175}，{0，53，104，162，218，273，325}，{0，78，154，237，318，398，475}，{0，103，204，312，418，523，625}，{0，128，254，387，518，648，775}}。先构造码率为4/5，列重分布由低到高排列为 γ ={2，3，3，5，7}的(3995，799)OOC-LDPC 码，其中 h(i)为:h(1)={0，87};h(2)={0，103，523};h(3)={0，387，775};h(4)={0，78，154，318，475};h(5)={0，3，4，12，18，23，25}，然后取行分解因子c=2分别对h(i)进行行分解，右循环后生成校验矩阵 H，得到码率为3/5的(3995，1598)OOC-LDPC码。

由前面介绍的系统编码规则知，前面的1 598比特为校验比特，后面的2 397比特为信息比特，1 599～2 397比特的度为32 398～3 196比特的度为53 197～3 995比特的度为7。将图像经SPIHT压缩编码后的码流补零为2 397的倍数，然后平均分为三部分，第一部分为重要部分对应度为7的节点，第二部分为次重要部分对应度为5的节点，第三部分为不重要部分对应度为3的节点。

3.2 仿真结果

图2 为列重 γ ={2，3，3，5，7}，码率为 3/5 的(3 995，1 598)OOC-LDPC码在AWGN信道下不同度节点的性能曲线，从图中可以看出，度高的节点比度低的节点在相同信噪比下具有更好的性能，在10－4处度为7的节点比度为3的节点大约有0.1 dB的增益。图3为512×512 Lena原始灰度图像。图4和图5是在信噪比为1.9 dB时，原始图像经0.3比特/像素的SPIHT压缩编码，信道编码分别采用不等保护和等保护方案时的重建图像。从图中可以看出，采用不等保护方式时重建图像质量明显高于等保护时的重建图像质量，前者的PSNR值比后者高约8 dB左右。采用不等保护方式时，重建图像与原始图像相比，从感官上基本看不出差别，而采用等保护方式时的重建图像则模糊的多。

图2 00C-LDPC码不同度节点性能

图3 原始图

图4 UEP PSNR=34.033 1

图5 EEP PSNR=26.025 3

4 结束语

非规则LDPC码具有不等保护特性，可以在不增加额外开销的情况下提高图像传输质量。文中介绍的非规则准循环OOC-LDPC码，具有准循环结构，构造容易，硬件实现简单，只需用移位寄存器反馈连接就可实现。仿真结果显示，非规则准循环OOC-LDPC码在中短码长时便具有较强的纠错能力，在节点度数相差不大或节点最高度不是很大时便具有较好的不等保护特性，非常适合无限图像传输。因此可以预料，文中介绍的非规则准循环OOC-LDPC码，在数字视频广播(DVB)、无线局域网(Wireless LAN)和下一代移动通信中将具有极好的应用前景。

［1］Gallager E.G Low-density Parity-check Codes［J］.IRE Trans on Information Thory，1962.8(1):21 －28.

［2］Luby M G Mitzenmacher M，Shokrollahima.Improved Lowdensity Parity-chek Codes Using Irregular Guaphs［J］.IEEE Trans on Information Theory，2001，47(2):585 －598.

［3］Salehi J.A，Chung F.K，Wei V.K.Optical Orthogonal Codes Design，Analysis and Applications［J］.IEEE Trans.Theory，1989，35(3):595 －604.

［4］全子一.图像信源压缩编码及信道传输理论与新技术［M］.北京:北京工业大学出版社，2006.