学会从概念、公式、题设切入

一、 活用极差概念学会分类讨论

例1 一组数据2，5，6，x的极差是7，则x = .

解：若x为最大则x-2=7；若x最小则6-x=7.故x为9或-1.

例2 班主任老师要求晓勤同学汇报一周内每天帮助妈妈做家务的时间（单位：min），晓勤汇报如下表：

？摇

星期四、五两天的时间因晓勤忘记了，只能用x、y代替，但他每天平均劳动半小时，极差为18 min.请你帮助晓勤算出x、y的值.

解：由平均每天劳动30 min，可算出x+y=51.

若25为最小值，则x、y中必有一个最大为25+18=43，则另一个为51-43=8<25（舍去）；

若40为最大值，则x、y中必有一个最小为40-18=22，另一个为51-22=29，所以x=22，y=29或x=29，y=22；

若x、y中一个最大，另一个最小，则有x+y=51，x-y=18.解之，得x=34.5<40，并不是最大，故舍去.

综上：x=22，y=29或x=29，y=22.

评注 抓最值，根据（已知）条件合理分类.

二、 理解（方差）定义、公式重在灵活运用

例3 如图所示，A、B两个旅游点从2008年至2012年“五·一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，求A、B两个旅游点从2008年至2012年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价.

解：从图中数据计算可知A、B两个旅游点从2008至2012年旅游人数的平均数均为3万人.

s2■=2，s2B=■.

可见，虽然B 旅游点的人数比A旅游点稳定，但A旅游点更有发展前景.

例4 已知：样本a■，a■，a■，…，a■的平均数是a，方差s2=0.20，那么样本a■，a■，a■，…，a■，a的方差s■2= .

解：∵s2=■[（a■-a）2+…+（a■-a）2]=0.20，

∴[（a■-a）2+…+（a■-a）2]=19×0.20.

∴s■2=■[（a■-a）2+…+（a■-a）2+（a-a）2]

=■×19×0.20=0.19.

三、 （方差）公式变形解题更灵活

一组数据x■，x■，x■，…，x■的平均数x=■（x■+x■+…+x■），

s2=■[（x■-x）2+（x■-x）2+…+（x■-x）2]

=■[x■2+…+x■2-2x（x■+x■+…+x■）+nx-2]

=■[（x■2+…+x■2）-nx-2]

=■（x■2+…+x■2）-x-2.

例5 已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=4，a2+b2+c2+d2=4，求■的值.

解：∵x=■（a+b+c+d）=■×4=1，视a，b，c，d为一组数据，由上述方差公式得

s2=■（a2+b2+c2+d2）-（x）2=■×4-1=0.

∴a=b=c=d=1.

∴■=1.

评注 这里的已知条件让我们“触景生情”，想到上述方差变形公式.

其实，胆大心细的同学会发现这里的a，b，c，d“约束”地位均等，难道它们会相等？真是这样的话就一定有a=b=c=d=1了，如何证明呢？方法来了：

∵a+b+c+d=4，a2+b2+c2+d2=4，

∴配方，得（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2+（d-1）2

=a2+b2+c2+d2-2（a+b+c+d）+4

=4-2×4+4=0.

∴a=b=c=d=1，■=1.