例析《图形与证明》新题型

例1 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠BCD=60°，CD=2AD，BC=2，点P是AB上的一点，求△PCD周长的最小值.

解析 如图2，以直线AB为对称轴作直角梯形ABCD的对称图形ABC′D′，连接C′D交AB于点P，再连接PC，则△PCD就是所求的有最小周长的三角形.图中∠D′C′B=∠BCD=60°，C′D′=CD，DD′=2AD，CC′=2BC=4.

∵CD=2AD，∴DD′=CD=C′D′.

又∵∠D′C′B=60°，∴∠D′C′D=■∠D′C′B=30°.

∵∠BCD=60°，∴∠CDC′=90°.

∴DC=■CC′=2，∴DC′=■=2■，

∴△PCD周长的最小值为2+2■.

例2 如图3，AG⊥直线l于G，P是直线l上且位于点G右侧的一动点，以AP为一边作正方形PABC，过点C、P作直线l的垂线，分别交直线l和∠PAG的平分线于点H、Q，连接QC.

（1） 求证：△PCQ是等腰三角形；

（2） 探究：当点P在运动过程中∠AQC大小变化的规律，并说明理由.

解析 （1） ∵ AG⊥直线l，PQ⊥直线l，∴AG∥PQ，

∴ ∠PQA=∠QAG.

又∵AQ平分∠PAG，∴∠PAQ=∠QAG，

∴∠PAQ=∠PQA，∴PA=PQ.

∵四边形PABC是正方形，∴PC=PA，∴PC=PQ，

∴△PCQ是等腰三角形.

（2） ∠AQC的大小保持不变，即∠AQC=45°.

∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC.

∵AG∥PQ，AG∥CH，

∴PQ∥CH，

∴∠PQC=∠QCH，∴∠PCQ=∠QCH.

又∵∠PAQ=∠PQA，

∴∠AQC=∠PQA+∠PQC=∠PAQ+∠PCQ=■（∠PAG+∠PCH）=45°.

例3 若两条平行直线l、m沿着某个方向经过平面图形的端点或与该图形相切，且该图形上的所有点都在l、m之间（也可以在直线l、m上），把l、m之间的距离称为该平面图形沿这个方向的宽度.如图4、图5和图6，d就是为3个图形分别沿某个方向的宽度.

阅读以上材料，回答以下问题：

（1） 如图7，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则菱形ABCD沿AC方向的宽度为 ，沿AB方向的宽度为 ；

（2） 如图8，在坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC落在x轴上，其中A（-1，0），C（7，0），连接OB，求正方形ABCD沿OB方向的宽度.

？摇？摇？摇？摇

解析 （1） 6，■.

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴菱形ABCD沿AC方向的宽度为BD的长.

∵BD=6，∴菱形ABCD沿AC方向的宽度为6.

∵沿AB方向的宽度即为AB边上的高的长度，

设AB边上的高长为h，∵AB·h=■，∴h=■.

（2） 如图9，连接BD交AC于E，过A作AH∥OB，过C作CH⊥AH于H.

∵四边形ABCD是正方形，A（-1，0），C（7，0），

∴BD⊥AC，BD=AC=8，

∴OE=3，BE=4，OB=5.

∵AH∥OB，∴∠COB=∠CAH.

∵BD⊥AC，CH⊥AH，∴∠OEB=∠AHC，？摇

∴△BOE∽△CAH，∴■=■，

∴CH=■=■，

即正方形ABCD沿OB方向的宽度为■.

例4 矩形ODBE在坐标系中的位置如图10所示，其中点B的坐标为（6，8），

以B为直角顶点的三角板（△ABC）绕点B旋转与x、y轴的正半轴分别交于点P、Q.

（1） 求■的值；

（2） 若M、N、G、H分别是四边形OPBQ中OQ、BQ、BP、OP的中点，顺次连接M、N、G、H.

① 试说明四边形MNGH为平行四边形；

② 记？荀MNGH的周长为L，则三角板旋转的过程中L的值是否发生变化？若不变，求出L的值；若改变，求出L的变化范围.

解析 （1） 易证△BQE∽△BPD，

∴■=■=■=■.

（2） ① 如图11，∵M、N、G、H分别是四边形OPBQ中OQ、BQ、BP、OP的中点，

∴MN∥OB，GH∥OB，OB=2MN，OB=2GH，

∴MN∥GH，MN=GH，

∴四边形MNGH为平行四边形.

② 在三角板旋转的过程中？荀MNGH的周长发生变化，其变化范围是20≤L<■.

连接OB，PQ，设BQ=x，

∵■=■，∴BP=■x.

在Rt△BQP中，∵BQ=x，BP=■x，∴PQ=■x.

∵？荀MNGH的周长=OB+PQ，∴L=10+■x.

∵△ABC绕点B旋转与x、y轴的正半轴分别交于点P、Q，∴6≤x<10，∴20≤L<■，

∴在三角板旋转的过程中？荀MNGH的周长发生变化，其变化范围是20≤L<■.