二轮复习之三角与向量突破

三角函数是高考中的必考内容，随着近年新课标的推进，试题中有关三角函数与其他知识相结合的考查也越来越多，如三角函数与平面向量、解析几何、函数、导数、解三角形、数列等知识点的结合．本文就将从几个常见的方面，对该类问题的解题方法进行相关总结．

1． 串联情况：三角函数与平面向量的结合是一种最为常见的结合方式，每年的高考中都会有所体现，主要涉及向量的数量积、同角三角函数关系、两角和差公式等有关知识．

2． 考情分析：三角函数与平面向量的结合在每年的高考试题中均会涉及，多作为填空题、选择题或者解答题的第一题出现，难度不大，答题格式也较为固定

3． 破解技巧：此类问题通常以平面向量作为有关信息的载体，给出三角函数问题的某些限制条件，从而进一步解决有关三角函数的求值或求取值范围问题．

4． 经典例题：

已知向量a=cosx，sinx，b=cos，－sin，x∈0，．

（1）用x的式子表示：a#8226;b及a+b；

（2）求函数f（x）=a#8226;b－4a+b的值域．

破解思路 本题以平面向量的数量积为结合点，得到一个具体的三角函数表达式，进而求解其值域．

经典答案 （1）a#8226;b=cosxcos－sinxsin=cos2x，a+b2=1+2cos2x+1=2（1+cos2x）=4cos2x，所以a+b=2cosx，x∈0，．

（2）f（x）=a#8226;b－4a+b=cos2x－8cosx=2cos2x－8cosx－1=2（cosx－2）2－9．

又x∈0，，所以cosx∈［0，1］，故f（x）∈［－7，－1］．

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一个动点，∠CPB=α，∠DPA=β．

（1）当#8226;最小时，求tan∠DPC的值；

（2）当∠DPC=β时，求#8226;的值．

图1

破解思路 本题以平面图形为背景，考查三角和向量的相关知识，新颖别致． 坐标系的建立突破了向量表示的难点，有效降低试题难度，提高解题效率．

经典答案 （1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图1所示的直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，2），D（0，1）. 令P（x，0），0≤x≤3，有=（-x，1），=（3-x，2），所以#8226;=x2-3x+2=x-2-. 当x=时，#8226;最小，此时P，0． 在△CPB中，tanα=，在△DPA中，tanβ=，所以tan∠DPC= tan（π-α-β）=-tan（α+β）== -18．

（2）由（1）知，P（x，0），#8226;=x2-3x+2，tanα=，tanβ=． 因为∠DPC=β，所以α=π-2β，tanα= -tan2β=，所以代入各值并整理得x=，此时#8226;=．

1． 串联情况：三角函数本就是函数，三角函数与函数的结合在考查中主要体现为对函数性质的考查，或者可以经过换元后，将问题转化为基本初等函数研究． 如单调性、取值范围、恒成立等常见问题．

2． 考情分析：此类问题也是必考知识点，多在填空题、选择题中出现，若单纯考查三角函数的有关性质，则难度较低，但是与其他函数结合考查性质时，往往会有一定的难度．

3． 破解技巧：该类问题的突破点在于三角函数的性质与函数性质的联系，恰当运用换元法可使问题简化．

4． 经典例题：

已知：定义在（－∞，4］上的减函数f（x），使得f（m－sinx）≤f（－+cos2x）对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

破解思路 利用三角函数的值域来求解变量的取值范围，是较为常见的解题思路，在利用单调性列出不等式时，不能忘记函数的定义域．

经典答案 由题意可得m－sinx≥－+cos2x，m－sinx≤4，即m－≥－sin2x+sinx－，m≤4+sinx对x∈R恒成立．

又－sin2x+sinx－=－sinx－－，4+sinx≥3，所以m－≥－，m≤3，所以m+≥，m≤3，所以m=－或≤m≤3．

函数y＝sinα＋cosα－4sinαcosα＋1，且＝k，<α≤，

（1）把y表示成k的函数f（k）；

（2）求f（k）的最大值．

破解思路 第一问的本质是对含有sinα＋cosα和sinαcosα结构的三角函数式的化简；第二问在通过换元后，其本质就是给定区间上的二次函数问题．

经典答案 （1）因为k＝＝＝＝2sinαcosα，所以（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝1＋k．

因为<α≤，所以sinα＋cosα>0，所以sinα＋cosα＝，所以y＝－2k＋1．

由于k＝2sinαcosα＝sin2α，<α≤，<α≤π，所以0≤k<1．

所以f（k）＝－2k＋1（0≤k<1）．

（2）设＝t，则k＝t2－1，1≤t<，所以y＝t－（2t2－2）＋1，即y＝－2t2＋t＋3（1≤t<）．

因为关于t的二次函数在区间［1，）内是减函数，所以t＝1时，y取最大值为2．

已知f（x）=4msinx－cos2x（x∈R）．

（1）若m=0，求f（x）的单调递增区间；

（2）若f（x）的最大值为3，求实数m的值．

破解思路 本题第1问的本质是对y=Asin（ωx+φ）单调性的研究；第2问通过换元后，将其转化为给定区间上的二次函数问题．

经典答案 （1）当m=0时， f（x）= －cos2x. 令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得kπ≤x≤kπ+（k∈Z），因此f（x）= －cos2x的单调增区间为kπ，kπ+（k∈Z）.

（2）f（x）=4msinx－cos2x=2sin2x+4msinx－1=2（sinx+m）2－（2m2+1）． 令t=sinx，则g（t）=2（t+m）2－（2m2+1）（－1≤t≤1）．

①若－m≤0，则在t=1时，g（t）取最大值1+4m. 由1+4m=3，

－m≤0得m=；

②若－m>0，则在t=－1时，g（t）取最大值1－4m. 由1－4m=3，

－m>0得m=－；综上，m=±.

已知a为实数，函数f（θ）=sinθ+a+3，g（θ）=（θ∈R）．

（1）若f（θ）=cosθ，试求a的取值范围；

（2）若a>1，求函数f（θ）+g（θ）的最小值．

破解思路 运用分离变量的方法将第1问转化为三角函数的值域问题. 分离变量的方法是高中求字母取值范围最好的方法. 第2问通过换元转化为运用基本不等式求最值的问题，应特别注意等号成立的条件，必要时应进行适当的分类讨论．

经典答案 （1）f（θ）=cosθ，即sinθ-cosθ=-3-a. 又sinθ-cosθ=sinθ-，所以-≤a+3≤，从而a的取值范围是［-3-，-3+］．

（2）f（θ）+g（θ）=（sinθ+1）++a+2. 令sinθ+1=x，则01，所以h（x）≥2+a+2，当且仅当x=时，等号成立，由≤2得a≤，所以当1

下面求当a>时，函数h（x）的最小值． 当a>时，>2，求导可得函数h（x）在（0，2］上为减函数． 所以函数h（x）的最小值为h（2）=．

综上，当1时，函数f（θ）+g（θ）的最小值是．

1． 串联情况：三角函数与数列的结合，现在越来越常见，此类问题多以数列问题为主要问题，三角函数只是作为影响其的一个因素．

2． 考情分析：此类问题是三角函数与其他知识结合考查的一个新的方向，有一定新意，属于中档题，对能力要求较高．

3． 破解技巧：此类问题以三角函数给出数列问题中的相关条件，往往看起来较为烦琐，突破点在于抓住数列问题的本质，弄清三角函数在题目中所起的作用，解决此类问题仍旧是“有法可依”．

4． 经典例题：

已知数列｛an｝（n∈N）满足：a1=1，an+1－sin2θ#8226;an=cos2θ#8226;cos2nθ，其中θ∈0，．

（1）当θ=时，求｛an｝的通项公式；

（2）在（1）的条件下，若数列｛bn｝中，bn=sin+cos（n∈N，n≥2），且b1=1，求证：对于n∈N，1≤bn≤恒成立；

（3）对于θ∈0，，设｛an｝的前n项和为Sn，试比较Sn+2与的大小．

破解思路 本题实际研究数列的通项以及证明有关数列的不等式，涉及不等式、恒成立等常见数列不等式问题的处理方法．

经典答案 （1）当θ=时，sin2θ=，cos2θ=0，所以an+1－an=0，即=.

故数列｛an｝是首项为a1=1，公比为的等比数列． 数列｛an｝的通项公式为an=．

（2）由（1）得，an=，所以当n∈N，n≥2时，有bn=sin+cos=sin#8226;+cos#8226;=sin+cos=sin+，b1=1也满足上式，故当n∈N时，bn=#8226;sin+.

因为n∈N，所以0<≤，<+≤，所以1≤#8226;sin+≤，即1≤bn≤．

（3）由an+1－sin2θ#8226;an=cos2θ#8226;cos2nθ得an+1－sin2θ#8226;an=（cos2θ－sin2θ）#8226;cos2nθ，所以an+1－cos2n+2θ=（an－cos2nθ）sin2θ，即=sin2θ，所以｛an－cos2nθ｝是首项为a1－cos2θ=1－cos2θ=sin2θ，公比为sin2θ的等比数列，故an－cos2nθ=sin2nθ，所以an=cos2nθ+sin2nθ，所以Sn=a1+a2+…+an=（cos2θ+cos4θ+…+cos2nθ）+（sin2θ+sin4θ+…+sin2nθ）=. 因此，Sn+2－＝+2－＝

＝＝－<0，所以Sn+2＜．

1． 串联情况：三角函数与导数的结合主要体现在用导数研究三角函数的单调性，求三角函数的导函数，以及求三角函数某点处的切线方程等．

2． 考情分析：三角函数与导数结合考查的问题逐步增多，但三角函数只是作为其中的组成要素之一，其本质是导数问题，此类问题往往解题方向较为明确，属于中档题．

3． 破解技巧：解决此类问题要熟记三角函数的有关导函数公式，用导数求切线方程的一般方法，以及利用导数处理极值、最值、单调性问题的一般步骤．

4． 经典例题：

已知函数f（x）=4x3－3x2sinθ+的极小值大于零，其中x∈R，θ∈［0，π］．

（1）求θ的取值范围；

（2）若在θ的取值范围内的任意θ，函数f（x）在区间（2a－1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

破解思路 本题实际是研究函数的极值及单调性问题，三角函数是其中的一个组成部分．

经典答案 （1）f ′（x）=12x2－6xsinθ，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=．

函数f（x）存在极值，sinθ≠0，由θ∈［0，π］，只需考虑sinθ>0的情况．

当x变化时， f ′（x）的符号及f（x）的变化情况如表1：

表1

因此，函数f（x）在x=处取得极小值f，且f=－sin3θ+．

要使f>0，必有－sin3θ+>0，可得0

（2）由（1）知，函数f（x）在区间（－∞，0）与，+∞内都是增函数．

由题设，函数f（x）在（2a－1，a）内是增函数，则a须满足不等式组2a－1

因为0

1． 串联情况：三角函数与解三角形的结合是一种必然，解三角形问题往往利用正弦定理和余弦定理进行求解，三角函数在其中所体现的作用是：通过具体的三角函数值，确定三角形中角的大小；在一些实际应用问题中，通过角的变化控制相关值的变化．

2． 考情分析：此类问题属于必考知识点，大题、小题均有涉及，但由于其解题工具（正弦定理、余弦定理）相对单一，所以操作性较强，难度不是很大．

3． 破解技巧：熟练掌握正弦定理和余弦定理，同时掌握处理面积、角度以及实际应用问题的方法．

4． 经典例题：

如图2，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且#8226;=50．

（1）求sin∠BAD的值；

（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．

图2

破解思路 本题利用正弦定理表示面积，以及利用数量积求出相关角的余弦值，通过对实际问题的分析，得到有关问题的求解思路.

经典答案 （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，则AC=10，cos∠CAD=，sin∠CAD=．

又#8226;=50，AB=13，所以cos∠BAC==．

因为0°<∠BAC<180°，所以sin∠BAC=．

所以sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=．

（2）S△BAD=AB#8226;AD#8226;sin∠BAD=，S△BAC=AB#8226;AC#8226;sin∠BAC=60，S△ACD=24，则S△BCD=S△ABC+S△ACD－S△BAD=，所以=．

在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA．

（1）求AB的值；

（2）求sin2A－的值．

破解思路 本题利用正弦定理找到边与角之间的关系，再利用余弦定理找出对应角的三角函数值． 熟知正、余弦定理在解决三角形问题中的相关作用，是快速准确解决该类问题的关键．

经典答案 （1）在△ABC中，根据正弦定理，＝．于是AB＝BC＝2BC＝2．

（2）在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝＝．

于是sinA＝＝． 从而sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝cos2A－sin2A＝．

所以sin2A－＝sin2Acos－cos2Asin＝．

在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，而△BCD是正三角形．

（1）将四边形ABCD面积S表示为θ的函数；

（2）求S的最大值及此时θ角的值．

破解思路 第1问可利用正弦定理求面积；第2问通过对问题的分析，可得到相关三角函数的表达式，进而将问题转化为三角函数的最值问题.

经典答案 （1）△ABD的面积S1＝sinθ. 因为△BCD是正三角形，则△BCD的面积S2＝BD2． 在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝12＋12－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ． 于是四边形ABCD面积S＝sinθ＋（2－2cosθ），S＝＋sinθ-，其中0<θ<π．

（2）S＝＋sinθ-，由0<θ<π得－<θ－<． 当θ－＝时，S取得最大值1＋，此时θ＝．

1． 串联情况：三角函数与实际问题相结合是近年来高考应用题考查的热点，通过设角将实际问题转化为三角函数最值问题，再运用化简、求导或基本不等式等方法求出最值．

2． 考情分析：近年高考中，对应用能力的考查越来越多，与三角函数相关的应用题也每年都有，多以填空题或解答题的形式出现，有一定难度，对能力要求较高．

3． 破解技巧：读懂题意，恰当设角，列出相关函数表达式，最后求出相关最值．

4. 经典例题：

如图3，开发商欲对边长为1 km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E，F分别在BC，CD上），根据规划要求△ECF的周长为2 km．

（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；

（2）欲使△AEF的面积最小，试确定点E，F的位置．

图3

破解思路 将实际问题转化为数学模型，列出相关函数关系，化简函数，求出最值．

经典答案 （1）设∠BAE=α，∠DAF=β，CE=x，CF=y（0

（2）由（1）知，S△AEF=AE#8226;AF#8226;sin∠EAF=AE#8226;AF=#8226;#8226;=#8226;====．

因为0<α<，所以2α+=，即α=时，△AEF的面积最小，最小面积为－1．

因为tan=，所以tan=－1，故此时BE=DF=－1，所以，当BE=DF=－1时，△AEF的面积最小．

三角函数在高考中每年必考，且难度不大，因此熟练掌握相关性质，灵活运用有关公式，是解决此类问题的关键；同时要注意应用数形结合等思想方法来解决问题．