库存经济批量定量分析计算

郑新芒

［摘要］ 库存经济批量的计算，在物流、企业管理、会计等专业中都具有非常的作用。在高职高专教材，甚至是大学本科教材中，只简单给出计算公式，没有详细地推导，对学生的知识理解极其不利。本文给出公式的详细推导，特别是允许缺货的进货批量模式，利用中学数学知识推导得出公式，帮助学生理解经济批量的确定方法。

［关键词］ 库存经济批量； 订购费用； 保管费用

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 10. 047

［中图分类号］F273［文献标识码］A［文章编号］1673 - 0194（2012）10- 0086- 02

经济批量控制法是侧重企业本身经济效益来综合分析物料订购和库存保管费用的一种科学的方法。经济批量模型一般有以下3种：

（1） 不允许缺货的经济批量；

（2） 不允许缺货，一次订货分批进货的经济批量；

（3） 允许缺货的进货批量。

下面我们一一分析，并推导最佳订货批量计算公式。

1不允许缺货的经济批量

它是研究物料订购和保管费用、保管次数和订购数量之间关系的。假定企业在一定时间内对某种物料的需要量一定，如果订购次数少，用于订购的费用就少，而每次订购批量就大，物料单价下降相当于优惠批发价，但支出的保管费用就越多。相反，订购次数多，用于订购的费用就多，而每次订购批量就少，单价相对高些，但支出的保管费用相应变少。

可以看出，订购费用与货物价值同方向变化，与保管费用呈反方向变化，订购批量多大为优，没有特殊点能确定这个问题。何为优，衡量标准是什么，我们只能追求总费用最少。至于什么情况下总费用最少，我们建立数学函数求其极值。

为了讨论方便，我们忽略订货批量对物料价格的影响。假定企业在一个时期对某物料的需求量是Ｄ，每次订货所需费用为Ｃ，平均保管单位物料支出费用是Ｋ，最佳订货批量是Ｑ，那么总订购费用是ＤＣ/Ｑ；进货之日存货Ｑ，用完之日存货为０，平均存货是Ｑ/２，那么整个时期的库存平均保管费用就是ＫＱ/２，则总费用

ＴＣ ＝ ＫＱ/２ ＋ ＤＣ/Ｑ

其中Ｑ为变量，要求ＴＣ的极值，先对ＴＣ求Ｑ的导数：

== -， 令其为０， -＝ ０，解得Q = 。

即订货经济批量 =。

2不允许缺货，一次订货分批进货的经济批量

企业在经营过程中，往往有不少物料是一次订货分批进货的。这样就形成前期一边入库，一边出库耗用，后期只出不进直至库存为０的状态，然后又开始下一循环。

这种模式下，总费用仍然是包括物料价值、订购费用与保管费用。订货批量多大为优，判断标准仍然是总费用最少。什么情况下总费用最少，我们建立数学函数求其极值。

仍然不考虑订货批量对价格的影响。假定企业在一个时期对某物料的需求量是Ｄ，每次订货所需费用为Ｃ，平均保管单位物料支出费用是Ｋ，最佳订货批量是Ｑ，那么总订购费用是ＤＣ/Ｑ；前期每次入库Ｐ，出库ｄ，每次库存净增加Ｐ － ｄ，库存最大量为（Ｐ － ｄ）Ｑ/Ｐ ＝ Ｑ（１ － ｄ/Ｐ），用完之日存货为０，平均存货是Ｑ（１ － ｄ/Ｐ）/２，那么整个时期的库存保管费用就是ＫＱ（１ － ｄ/Ｐ）/２，则总费用ＴＣ ＝ ＫＱ（１ － ｄ/Ｐ）/２ ＋ ＤＣ/Ｑ 其中Ｑ为变量，要求ＴＣ的极值，先对ＴＣ求Ｑ的导数： =- ，令其为０， -= 0 解得Q = 。

即订货经济批量 = 。3允许缺货的进货批量

如果生产不均衡，供货没有绝对保证（入库量小于订货量），发生缺货不可避免；加大保险储备的代价又大于因缺货造成的损失，这时就允许缺货。此时存货费用包括订购费用、保管费用和缺货损失费用。使总费用最少的订购批量就是经济订购批量。

假定企业在一个时期对某物料的需求量是Ｄ，最佳订货批量是Ｑ，每次订购所需费用为Ｃ，平均保管单位物料支出费用是Ｋ，每次进货量Ｑ１，维持ｔ１时间；缺货Ｑ２，维持ｔ２时间，缺货单位物料平均损失为Ｒ。

参看模型图1，写出各项费用的表达式。

订购费用是ＤＣ/Ｑ

保管费用：ｔ１时间内平均库存量Ｑ１／２，在ｔ时间内平均库存量为Ｑ１ × ｔ１／（２ｔ），则保管费用为ＫＱ１ × ｔ１／（２ｔ）

缺货损失费用：ｔ２时间内平均缺货量Ｑ２／２，在ｔ时间内平均缺货量为Ｑ２ × ｔ２／（２ｔ），则缺货费用为ＲＱ２ × ｔ２／（２ｔ）

总费用ＴＣ＝ ＤＣ／Ｑ ＋ ＫＱ１ × ｔ１／（２ｔ） ＋ ＲＱ２ × ｔ２／（２ｔ）

变量有Ｑ、Ｑ１、Ｑ２、ｔ、ｔ１及ｔ２，显然太多，最好只有Ｑ一个变量。

根据模型图，先替代时间变量。根据相似三角形，

ｔ１／ｔ ＝ Ｑ１／Ｑｔ２／ｔ ＝ Ｑ２／Ｑ 代入总费用公式，

TC = C + K + R = C + K + R = C + K + R

如何用Ｑ去替代Ｑ１、Ｑ２呢？

根据题意，保管费用应小于缺货损失费用，否则宁愿多存货。数学表达式：

ＫＱ１ ≤ ＲＱ２ 临界点是ＫＱ１＝ ＲＱ２ 整理后Ｑ１ ＝ ＲＱ２/Ｋ

两边同加Ｑ２Ｑ ＝ Ｑ１ ＋ Ｑ２ ＝ （１ ＋ Ｒ／Ｋ） Ｑ２分别求Ｑ１和Ｑ２ 得Ｑ２ ＝ ＱＫ／（Ｒ ＋ Ｋ），Ｑ１ ＝ ＱＲ/（Ｒ ＋ Ｋ），代入总费用公式得

TC =C ++

要使ＴＣ出现极值，对ＴＣ求Ｑ的导数

= - += - +

令其为０，则求得

Q ==

订货经济批量 = × 。

继续运算求得：入库量Q1 = Q =缺货量Q2 = Q = K。

通过公式推导，学生能更深入地理解公式内涵及影响因素。用中学数学知识解决了变量代换问题，对高职院校的学生来说简单易懂，教学效果会更好一些。

主要参考文献

［１］ 吴忠平. 现代企业管理［M］. 北京：机械工业出版社，２００6.

［2］ 许兆祥，汪政. 生产与运作管理［M］. 第2版. 北京：机械工业出版社，２０11.