数学发展源动力解析

杨旭

摘 要：回顾数学纷繁复杂的发展历程，是什么力量推动了数学的发展，使数学历经几千年发展到今天如此进步的程度，该文从三个方面阐述了推动数学发展的源动力，数学是依社会生产矛盾运动、数学内部矛盾斗争、数学家不懈追求而发展，只有正确看待数学发展的源动力才能更好的传承与发展数学事业，为人类造福。

关键词：数学 社会生产 矛盾斗争 数学家

中图分类号：O1-0 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2012）12（a）-0-02

横看中西、纵观千年的世界数学发展历程，在我们面前展现出一幅波澜壮阔的景象，一条条涓细之流从源头出发，会聚无数支流，势不可挡，形成现在汹涌澎湃的数学大河，追溯数学发展的源动力在哪里？经过我多年的研究得出如下结论。

1 数学依赖于社会生产矛盾运动而发展

数学是反映客观世界的数量关系与空间形式的一门科学，它的发生与发展是建立在生产之上的，当生产力水平与人们的现实愿望出现矛盾时，数学便产生并不断的发展。

数和形的概念可追溯至原始社会，由于当时社会生产力水平极低，虽然经过近万年的缓漫发展，但只累积了零散的、萌芽状态的数学内容。直至奴隶社会鼎盛时期的古希腊，生产力水平已有较大提高，此时几何学在生产实践中才得到飞速的发展。在文艺复兴时期航海得到迅速发展、机械得到广泛使用、我国四大发明远播西方，由此促进了西欧生产力水平快速发展，同时也使得自然科学得到迅猛发展，此时代数学在意大利这个封建王朝中取得了骄人的发展。17世纪欧洲随着生产力水平提高，力学与技术水平得到了较大提高，为适应社会生产的需要，从更高层次向数学提出了新的要求与挑战，把运动问题作为数学研究主要方向，从而产生变量的观点，进而函数概念就产生了，随后产生了数学的两个重要研究领域，即解析几何、微积分。

解析几何与微积分的基本理论在生产中得到运用，它符合生产与技术的一些现实的客观要求，在短时间内使数学取得极其辉煌的成就，在古代已出现朴素的极限思维，但由于生产力水平低、科技水平不高，所研究的领域多驻足于静力学与固定不变的范畴内，没有产生变量的观念与微积分思想的社会基础。1705年蒸汽机在物理学家纽可门的研制下获得了使用，近代蒸汽机于1768年在瓦特研制下成功了，在此掀起了人类历史上第一次工业革命，使社会生产力水平得到空前提升，继而数学在18、19世纪出现大发展的格局。，生产力与科学技术在20世纪40年代逐渐得到较快发展，第一颗核弹于1945年爆炸、同时计算机得到应用；人造地球卫星于1957年升空，继而在超高压、超高温、宏观、微观的研究领域都得到突破，现代数学也因此得到了神速发展，都取得了丰硕成果。有许多科学家对1940年以后的数学做出的成就给出极高的评价，它完全超出了自古希腊至上个世纪四十年代期间的长达近2000年数学所取得的成就。纯数学领域做出了重大成就，数学的边缘学科开辟了一些新的领域，例如规划论、计算数学、运筹学、对策论、控制论、信息论、经济数学、生物数学等等，随着上述学科的出现系统科学获得深入，同时也产生了多种数学新思维、新思潮，例如标准分析、模糊数学、构造数学、结构数学、计算机科学、突变理论等，机器证明与人工智能也相继获得重大突破。人类对自然界的各种现象的了解是随着生产力水平的提高得到逐步深入，通过科学史的研究就发现了这个艰辛的历史过程。在数学领域面里2000多年前就已经将精确数学作为确定现象进行了研究；四百多年前开始将随机数学作为随机性现象进行了研究，如在工业革命时期生产中遇到的产品质量检验问题，极大的推动了统计学、概率等数学分支学科的发展；20多年前开始将模糊数学作为对模糊性现象进行研究，毋庸置疑，如果没有电子计算机技术的发展，一定没有模糊数学的产生。

阶级斗争、生产斗争与科学实验作为人类社会的三个矛盾运动，它们中生产斗争将起到决定性的作用。人类社会生产以不同的方式向数学提出新问题、明确数学发展方向、为数学提供新的发展条件三个方面推动数学向前发展，类似于把显微镜提供给生物学家、把望远镜提供给天文学家一样，正因为生产和科技将电子计算机提供给了数学家，从而推动了近代数学的在繁荣。数学理论虽然具有抽象性，但它最有力最深刻的描述了现实世界的数量关系与空间形式，所以在自然和社会科学、技术领域与社会生产实践中数学知识得到更加广泛的应用，对我们认识和改造自然发挥着极其重要的作用，它体现了在社会生产发展过程中数学内容对其起到巨大影响的反作用力，同时数学理论的真理性也得到了检验。数学不可能脱离社会生产的进步而独立存在，一般情况下数学依赖于社会生产，因此彼此的发展与进步总体上是相适应，与社会生产相比数学发展有独立性，时而落后或时而超越社会生产的进步。如公无前三世纪出现的二次曲线在经过近两千年尘封以后在行星运动中得以应用；非欧几何出现后经过近100年在相对论中得以应用；数理逻辑出现后在经过一百年在计算机领域中得以广泛运用，类似数学理论超越社会生产要求之前出现，是纯粹数学本身矛盾运动所带来的结果。

2 数学依赖于其内部的矛盾斗争而发展

数学内部矛盾斗争是其发展历程的显著特征，它是推动数学向前发展的源动力之一。

数学研究对象是世界的空间形式与数量关系，建立在纯粹意义上为了探究空间形式与数量关系，就必须超越现实世界的束缚，但形式脱离了内容的发展是不存在的，所以数学为了实现这种割裂，必须按它的本质企图去探索，此种根本矛盾是数学之本质，也是在数学领域的特殊体现，在不断解决与重复此种矛盾的过程中，使认识逐渐趋于现实，以此数学不断地前行，使数学由简单至复杂，由低级到高级发展。自然数得到最早认识，经过斗争才出现零与负数，如不引进这些数，那么遇到数的减法就不能完成；除法是在引进分数后使乘法有了逆运算而产生的，从此解决了许多实际问题；接着又遇到了是否所有的数量都可以用有理数来表示的问题，最终出现了无理数，化解了数学第一次危机，使逻辑学得到发展与几何学达到系统化；求方程解的过程引入了虚数，当时被人们认为不现实，但它解决了实数所不能完成的问题，为虚数争取到存在意义；同样由欧几里得几何发展到多种几何体系也数学内部的矛盾运动的结果。由于许多问题用传统方法解决不了以至于给数学带来了极大的冲击，如在19世纪发现五次以上代数方程不可由加、减、乘、除、开方求其解；解决古希腊的几何学中三大问题不可由圆规与直尺作图来完成等，这些结论说明了使用传统方法的局限性，要想使人类认识得到深入，数学完全转变了它的研究方向，如抽象代数取代了代数学，分析和计算数学取代求解方程的根。类似情况在第三次危机中也有多次显现，如整数算术形式系统具有不完整性、诸多问题具有不可判定等都提高了人们的认识水平，数理逻辑也得到了很好发展。

无穷小量的矛盾反映了数学内部有限和无限的冲突；集合论与数理逻辑涉及到无限集合，而数学离开无限集合就行不通，仅考虑可数集合或有限集合是极端观点，如果只这样思考，那么绝大部分数学就不存在了，如使用计算机做四色定理的证明，它也要把无限多种情形的地图归纳为有限的情况，计算机对无限的情形也是做不到的，所以数学将永远无法回避有限和无限这个矛盾。

数学中有应用上清楚和逻辑上严格之间的冲突，对此注重实用的人盲目去应用，但注重严密的人提出许多批评，只有两者达成一致，矛盾才得以解决，如最初只是形式演算的算符演算和δ函数得到盲目应用，直到出现广义函数论的严格系统。在数学中两种重要趋势一直受到关注，即学科不断分化与学科不断综合的趋势，两者的矛盾辨证运动是否定之否定历程，到19世纪末学科分化达到很精细程度，几何、代数、分析等已出现各自不同的发展领域，学科之间的联系不够紧密，它们在语言、理论、方法等可以不相通，数学没有统一的图景。从克莱因用“群”的思想统一了几何，至康托尔奠定公理化和集合论，数学逐步由分化又走向了综合，对数学的认识越是理解整体的诸多方面，就能更好的把握整体。有人试图把目前的数学进行统一，但这种统一是相对与暂时的，随生产与科技的进步，又会产生新的数学分支，形成新的分化，就是在分化与综合中数学不断得到发展。

3 数学依赖于数学家们不懈追求而发展

《畴人传》中记载中国众多的数学、天文学家的传记，例如僧一行是唐朝著名的数学与天文学家，他将天文学和数学统一起来，他的二次内插法公式的研究是世界上最早的，他对北极高度与日影长度的观测是世界上首次对子午线的测量，创立“开元大衍历”，对我国历法做出重大成绩，得到后人的称颂。我国南北朝时期数学家祖冲之在世界上享有盛名，他将圆周率π精确至6位小数当属世界最早，这个成果创下近千年世界记录，他自小对数学与天文学有深厚兴趣，苦读专研，不时提出大胆设想，再经过实践进行验证。祖冲之与其子合编数学名著《缀术》，被当时唐朝选定为学校教学用书，后来朝鲜、日本也将其作为学校课本。世界人民对祖冲之在数学上的贡献给出很高评价，他的塑像矗立在莫斯科大学受到人们的敬仰，并将月球上一座山脉命名为祖冲之环形山，名扬海内外。在我国数学史上著名数学家梅文鼎（1683—1721年）自幼酷爱数学与天文学，从29岁起数十载不断的学习和研究，成为十七世纪末期我国最有影响的数学家，他在历法上专研我国古代70多家历法，并和西方历法统一研究，在数学上提出笔算、筹算、对数、三角等，后来又研究方程和勾股诸术，终成大器，自成一派，他的著作《勿庵历算书目》多达二百多卷，在这些著作中数学著作占据大半，它包含初等数学的各分支学科。梅毂成是他的孙辈，自幼向他学习数学，受到良好的数学熏陶，23岁时他进宫学天文与数学，撰写《数理精蕴》，并把他祖父的共60卷成果汇编成《梅氏丛书辑要》，自己所著数学书40卷，如这样的大有作为的数学世家在全世界数学发展历程中也是少见的，完全可与当时的瑞士伯努里家族相提并论。

数学史中瑞士数学家欧拉（1707—1783年）一生中共发表500多篇论文，在他离世后又相继发表了他留下的多篇手稿，这样他发表的数学著作多达886篇之多，可谓是一位高产作家，欧拉用毕生的精力全部投入到数学研究之中，所触及的范围较广，1735年他左眼不幸失明；1766年右眼也失明，所有这些困难都没有妨碍他对数学孜孜不倦的追求，双目失明的欧拉在他人的帮助下，记录下他数学研究的成果，凭借自己仅存的记忆力，艰苦顽强的进行研究，在最嘈杂的环境中他也能将精力高度集中于数学创造。让人感受到钦佩与惊讶的是欧拉不只学术专著极多，而且他的专著中语言通俗易懂，所使用的数学符号简洁明快，例如用f（x）代表函数关系，e是常数且代表自然对数底，小写字母a、b、c代表ΔABC三个内角的对边，大写符号∑代表和式，符号i表示虚单位……这些记号都被后人所沿用。又如最美妙的数学公式欧拉公式，它与最重要的五个常数π、e、i、0、1相联系，欧拉受到后来众多数学家们的敬仰与怀念，他是一切人的导师，给他以极高的评价。

数学发展史中希腊的数学家泰奥思之女希帕提亚（310—415年）当属第一位女数学家，她撰写了评注书是有关阿波罗尼与丢番图的。女数学家中最伟大的当属德国的生于犹太家族数学世家的诺特，诺特在1900年就读于爱尔兰根大学，在大学1000多名学生中只有两位是女性，诺特在博士导师的指导下写了《三元双二次型不变量的完全系》论文，诺特于1916年去了哥廷根，此时数学家希尔伯特正在研究广义相对论，在此诺特做了很多工作，后人对她的贡献给予很高的评价，但是在大学里对妇女有歧视，希尔伯特曾几次向学校提出授予诺特讲师，但是在格廷根召开的哲学教授会议对此请求坚决反对，诺特于1919年到1922年间走上了一条特殊的发展之路，在环中选择理想论为研究对象，她在抽象代数领域做出了重大贡献，她在代数学派的代表著作是一般理想论，诺特于1922年获得特别教授称号，因为犹太人遭到纳粹分子的迫害，诺特于1933年去美国作教师，于1935年去逝。后来著名物理学家爱因斯坦对诺特在代数学中贡献给予很高评价，诺特是最有创造性的最重要的女性数学天才。

布尔巴基学派对现代数学有较大的影响，在第一次世界大战后期法国数学界青黄不接，后继无人，面对德国与苏联数学快速发展以及红极一时的波兰学派法国数学落后了。在1924年前后一批十八九岁的有志青年包括狄多涅、亨·嘉当、韦伊等人，这些人不满法国数学发展现状，决心发动数学革命以振兴法国，他们把研究的范围拓展到“函数论王国”之外，他们严谨治学，如饥似渴的阅读，深入研讨最新的数学成果，掌握数学发展中出现的新概念，他们走出国门倾听国外数学家的演讲，学习数学前沿内容。由于他们目标明确、措施得力，不久就形成自己独创的数学思想“数学结构的观点”，对拓扑空间、代数几何、可换环、泛函分析、多复变函数论、李群等数学相关领域做出杰出贡献，对现代纯数学研究的最新成果予以高度概括，推动法国数学研究水平并轰动全世界。布尔巴基学派所具有的创造与开拓精神确实令后人钦佩，他们中一大批数学家的科研态度是十分严谨的，一本数学著作有时推倒后重新撰写十次，经过多次校对后才去发表，如《数学原本》中的第一章节内容就花费了整30年才得以正式发表。这些数学家们对自己的学问严格要求，一丝不苟，他们既有深厚的数学兴趣与情感、渊博的学识和宽厚的数学基础，还要具有数学独立研究的精神，把数学作为自己崇高的使命，这些因素是他们在数学上取得巨大成绩的主要原因。

以古今中外数学家们在推动数学事业发展过程中所焕发出来的宝贵的精神力量，化作我们宝贵财富，以推动我们各项事业的发展。

参考文献

[1] （英）期科特.数学史[M].南宁：广西师范大学出版社，2002.

[2] 李文林.数学史概论[M].高等教育出版社，2002.

[3] 李文林.古为今用、自主创新的典范—吴文俊院士的数学史研究[J].内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2009，38（5）：477-482，490.

[4] 汤彬如.学习和研究数学哲学和数学史[J].南昌教育学院学报，2003，18（1）：28-31.