语义真值在谓词逻辑中的运用

唐晓阳 蔡爱国

摘要：讨论了谓词逻辑的语义真值情况，阐明了逻辑学中数学函数概念的引入，探讨了量词二次函数概念的产生，得到了三条定理：谓词表达的语义真值是函数；函数具有延展性，如果函数f和函数g有着相同的延展，那么f=g；谓词表达是一次函数，自变量为物体输出真值；真值连接函数为一次函数，自变量为真值输出真值；量词为二次函数，自变量为真值函数输出真值。

关键词：语义真值；谓词逻辑；函数

语义真值在谓词逻辑中的运用是弗雷格的一个重大发现，他成功的把数学中的函数概念引入到逻辑中，从而使得许多问题迎刃而解。本文就数学函数是如何引入到逻辑学中的，以及如何形成真值连接函数等问题进行了探讨，并研究了与其相关的定理。

1．纯数学角度的函数（function）

试举一个简单的函数“y=3x”，那么这里y就是x的函数。当x取不同的自然数时候，我们也会得到不同的y。这里的x我们就称之为函数的自变量。所以自变量是1，得到3；自变量是2，得到6；自变量是3，得到9......我们可以把这个函数表达成下面这种形式：

{（0,0），（1,3），（2,6）（3,9），（4,12），（5,15）.......}

我们把这种形式称之为函数的延展。y=x可以称之为“一个自变量的函数”，当然也可以有“两个自变量的函数”，如：z=x+y。这里有两个自变量，要得到函数的结果就必须同时给x，y分别一个自然数，运用上面的形式可以表达成

{（0,0,0），（1,0,1），（1,1,2），（2,1,3），（2,2,4）.....}

回顾一下函数的整个运作过程，例如“y=3x”，那么当我们取x为1的时候，1*3=3，所以y=3.当我们取x为2的时候，2*3=6，所以y=6.依次类推3*3（y=9），4*3（y=12）。我们可以看出这种表达实际上就是“y=3（）”，然后我们把一个个自然数添入到（）里面去。这就是未知数x的本质意义，x可以代表任何自然数，相当于一个（），而为了方便数学运算，我们引入了x这个符号代表这一意义。这样，当我们不给x取值的时候，整个函数就没有办法输出结果。而当写下“y=3x”的时候，本质上还是“y=3（）”。这里x没有任何的输入，所以在弗雷格的观点中，函数是不饱和或者不完整。与此相对的，特有名词和陈述句子是饱和的。这里我们就解释了弗雷格眼中的数学函数概念，下面解释如何用这一观点来看连接词。

2．连接词（connective）

考虑下面一个陈述连接词，否定“-”，如果给这个陈述连接词加上一个“p”，变成“-p”那么当“p”为真的时候“-p”就为假，“p”为假的时候，“-p”就为真。那么我们可以把此表达成：

-{（T,F），（F,T）}

这样就变成了一个拥有有限延展的函数，自变量是真值，输出结果也是真值。像这种输出和输入结果都是真值的函数我们称之为真值连接函数，同理利用逻辑真值知识，我们可以写出其余陈述表达词的函数延展。

&{（F,F,F）,(F,T,F),(T,F,F),(T,T,T)}

V{(F,F,F),(F,T,T),(T,F,T),(T,T,T)}

P→Q{(F,F,T),(F,T,T),(T,F,F),(T,T,T)}

P?Q{（F,F,T）,(F,T,F),(T,F,F),(T,T,T)}

这里讨论了用函数的观点来看连接词，下面讨论谓词的语义真值和函数在其中发挥的作用。

3．谓词和量词（predicate and quantifier）

首先让我们考虑下面一个表达：

①.....是偶数

通过上面数学函数的知识，我们发现这个表达不饱和，有一个空缺的地方等待数值的添入，我们随意填进去几个数字

②2是偶数

③3 是偶数

④4 是偶数

很明显，“2是偶数”和“4是偶数”是正确的，也就是说语义真值为真。“3是偶数”是错误的，也就是说语义真值为假。那么顺着这个思路，我们用函数延展形式来表达①

{（0，T）,(1，F)，（2，T），（3，F）,(4，T),(5，T)......}

所以①可以看成是一个函数，自变量是自然数，得出的结果是真值。

同样的我们可以再举一个例子

⑤ .......是圆的

那么用同样的表述方式可以将此写成：

{（网球，T），（足球，T），（篮球，T），（保龄球，T），（书桌，F）}

那么我们可以看出，⑤也是一个函数，自变量是生活中物体，输出结果是真值。一般来说谓词逻辑总是一个自变量为物体，输出结果为真值的函数。弗雷格把函数的输出结果总是真值的函数称之为真值函数（concept）。

这里，我们发现一个谓词表达中起到决定真值决定作用的是函数，那么得到定理1:

定理1：谓词表达的语义真值是函数

又因为我们知道函数是延展性的，并且结合陈述逻辑中的定理“替换一个复杂表达其中一部分表达成另外一个具有相同语义真值的表达，该复杂表达的语义真值保持不变”.我们可以得出定理2:

定理2：函数具有延展性：如果函数f和函数g有着相同的延展，那么f=g

这样我们就得到了谓词逻辑的两条公式。下面让我们看谓词逻辑中比较特殊的量词。首先让我们看一个全称量词的情况。首先确定全称量词的范围.

{李白，杜甫，老子，孔子}

然后是谓词表达:

⑥所有人都是中国人

用函数语言来表达就是：x：所有人；Gx:.....是中国人。所以⑥就表达成 （ x）Gx。这里就出现了两个函数，先选一个人物带入其中试试看。取值“x=李白”,很明显李白是中国人，所以Gx语义真值为T。到了这一步没有办法进行下去，因为 x是所有的人，而这里只讨论了李白的情况，所以接下来把全称量词范围中剩余人名写出来，很明显其余情况Gx也是T。那么所有的x得到的Gx都是真， x的语义真值也是真。让我们把x用函数延展表达出来：{（TTTT,T）}，这里的函数是多对一的情况。

上述过程可以看出，全称量词表达也是一个函数，但是它是第二步计算的函数。必须把其它函数的真值全部算出来才能考虑全称量词的函数。同理，一个存在量词表达也是第二步计算的函数。弗雷格把量词表达称之为二次函数，二次函数的自变量为真值函数（concept）。现在回过头来看（x）Gx这个函数，我们可以先列出高等级的二次函数形式，把一次函数看成自变量。于是得到：

（x）（）

那么如果 x要为真，那么 x的所有自变量都必须要为真。而我们又知道 x的自变量是真值函数Gx，列出Gx的函数延展形式：

{（李白，T），（杜甫，T），（老子，T），（孔子，T）}

那么这里Gx中所有自变量输出值都是T，因此x的所有自变量都是T。因为x的所有自变量都是T，所以x为T。这样就利用了二次函数的概念，重新解释了一下该命题。下面让我们把命题做一个小小改动，来看一下存在量词。

存在量词取值范围：{李白，杜甫，孔子，爱迪生}，表达如下：

⑦ 有些人是中国人。

同样我们可以表达成（ x）Gx。那么（x）（）为真的条件就是存在自变量为真的情况。下面列出Gx的函数延展。

{（李白，T），（杜甫，T），（老子，T），（爱迪生，F）}

尽管Gx的输出结果有一个F，但是它满足了x的自变量至少有一个为真的情况，所以 x的语义真值为真。

通过学习这些最基本的函数在逻辑中的运用。便可归纳成定理3：

定理3：谓词表达是一次函数，自变量为物体输出真值；真值连接函数为一次函数，自变量为真值输出真值；量词为二次函数，自变量为真值函数输出真值。

了解了语义真值在谓词逻辑中的运用，如能结合语义真值在陈述逻辑中的运用，便可对语义真值这一概念有一个较为全面的认识。

参考文献：

[1]常立涛. 勃克斯因果陈述逻辑理论评析[J].毕节学院学报, 2010（6）.

[2]王寅. 认知语言学的哲学基础: 体验哲学[J].外语教学与研究, 2002（2）.

[3]王路译,《弗雷格哲学论著选辑》[M].北京：商务印书馆，2006.

（作者单位：江南大学人文学院）