压电悬臂梁智能元数字仿真模型设计及分析

王 雷 任秉银

(哈尔滨工业大学机电工程学院，哈尔滨 150001)

邹鸿生

(浙江大学航空航天学院，杭州 310027)

柔性薄壁结构是航空航天领域重要的发展方向，近年来国内外学者对以压电材料作为传感器及作动器的智能结构系统的振动控制问题进行了大量的研究工作［1－5］.

智能结构系统的物理模型实验测试过程中很难改变智能材料的尺寸及布置位置;材料的粘合水平及测试精度甚至环境噪声都会影响实验结果;此外经过反复的实验测试后模型会有一定程度的疲劳破坏:故对其进行仿真是必要的.

智能结构系统的建模及仿真大体有4种方法:①有限元软件仿真;②Matlab软件仿真;③模拟电路仿真;④数字电路仿真.

文献［6］用有限元软件对分布式压电悬臂梁和板结构系统建模并研究最大控制力问题;虽然该方法具有诸多优点，但随着结构越复杂以及划分单元越多，动态分析计算时间过长.文献［7］基于剪应变理论对压电层合梁利用Matlab软件进行振动响应分析;Matlab法的缺点是很难建立复杂的仿真模型.文献［8］利用有限差分方法对压电智能梁以及板结构系统的PZT(锆钛酸铅)压电陶瓷激励器进行模拟电路仿真.文献［9－10］对压电智能控制下的悬臂梁动力学系统采用有限差分方法进行模拟电路化仿真并进行位移反馈和速度负反馈控制测试.模拟电路同样难以构建复杂模型，并且模拟电路元件存在零漂、响应速度低等缺点，放大倍数有限，限制了振动控制仿真的分析精度.

目前采用数字电路的仿真研究很少，数字电路的大存储空间和高运算速度/精度可以使仿真模型的离散化密度更高，并且改变模型参数简便，为对更复杂物理结构模型的振动控制仿真提供保障.

本文提出了针对于压电悬臂梁智能结构系统多模态振动控制的专用智能元仿真模型，采用有限差分法将压电悬臂梁结构系统的主体结构、传感及控制的连续高阶动力学偏微分方程转化为离散化智能元常微分方程并建立智能元数学矩阵模型，进而基于Newmark-β积分方法在DSP数字电路上设计智能元仿真模型，进行了2种不同反馈控制下的振动特性分析，取得比采用模拟电路元件来构造等效电路化模型更精确的结果.

1 悬臂梁主体结构的数学矩阵模型

如图1所示的弹性欧拉-柏努利悬臂梁，分别完全布置了厚度为hS和ha的作为传感器/作动器的压电薄膜.不考虑压电薄膜惯量和刚度以及梁结构阻尼和温度变化所产生的影响，由文献［9］可知在受到外部激励和压电控制力矩时，沿着梁长度x方向上某点的动力学偏微分方程可表示为

图1 压电悬臂梁智能结构系统

将如图2所示的梁沿着长度x方向等分为m段，每段长度为Δx=L/m.段间节点序号为i，悬臂梁固定端的节点号为i=0，外侧自由端节点号为 i=m，各节点的垂直位移用 u3，0～ u3，m表示.

图2 有限差分后的压电悬臂梁智能结构系统

先不考虑压电薄膜对悬臂梁施加的控制效应，节点i的动力学偏微分方程可利用中心有限差分法转化为常微分方程:

需要在悬臂梁的固定端和自由端的外侧虚拟出3个节点i=－1，m+1，m+2.将各节点的有限差分方程联立成为一个非齐次方程组如下:

悬臂梁结构系统的边界条件为固定端

自由端

在考虑边界条件后，式(3)中左侧系数矩阵可转化成为m×m的方阵，得到在非受控情况下的系统数学矩阵模型，该模型可表示为一个类似多自由度弹性体系的无阻尼振动方程组的形式:

其中，K0为m×m的初始刚度矩阵;M为质量矩阵，M=ρh×E，E为单位阵;其余为单列阵.

2 压电悬臂梁的智能元矩阵模型

假设距离节点Δx/2范围内的位移u3及几何结构特性都与该节点等同，整个梁是由m+1个子区域构成，处于边界的区域为Δx/2，其余的为Δx.涵盖了结构本体/传感器/作动器的子区域称为一个智能元.通过分析单个智能元的运动、传感、控制力/力矩特性，建立相互之间的动力学关系，最终建立整体智能元矩阵模型.

2.1 智能元传感信号的离散化解析

由文献［11］可知，完全布置在悬臂梁表面的压电传感器的传感信号积分方程为

利用二阶有限差分将传感信号分解为各个智能元传感信号的叠加值:

考虑边界条件，得到传感信号的简化解:

此方法得到的压电传感信号并不受传感器内部节点位移影响，而是由传感器自由端边界节点位移及边界内侧一个差分长度的节点位移决定.

2.2 控制力矩的离散化解析

由文献［9］可知，压电作动器产生的控制力矩等效集中在自由端.

1)当位移反馈控制时，控制电压与传感信号成比例放大(φa=GφS)，由力矩平衡得

将式(9)和式(10)整理后代入式(5)中，得到位移反馈控制时的智能元矩阵模型:

与非受控模型式(5)相比，受到位移反馈控制后，Kd随着位移反馈增益G的调整而改变，系统刚度及模态特性也相应的产生变化.

2)当速度负反馈控制时，控制信号被定义为φa=G∂φS/∂t，此时由力矩平衡得

同样的，将式(13)和式(14)整理代入式(5)中，得到压电悬臂梁结构系统的速度负反馈控制时的智能元矩阵模型:

其中Cv为产生的阻尼阵，与非受控模型(5)相比，速度负反馈控制改变系统阻尼特性.

3 基于数字电路的智能元仿真模型

明确了受控下智能元矩阵模型最终的刚度矩阵K，阻尼矩阵C，质量矩阵M后，得到每个时间步长下的节点位移的算法流程如图3所示.

图3 智能元位移仿真算法流程图

选用数字电路TMS320C6713 DSP作为智能元仿真模型的硬件载体，它可以每秒处理16亿机器语言指令，PC机上的Code Composer Studio数字仿真软件通过USB仿真器与数字电路进行数据交互.

对于完全层合布置了厚度为4×10－5m的压电薄膜的尺寸参数为 L×b×h=0.1×0.01×1.6×10－3m3的悬臂梁，所模拟的材料及控制参数采用文献［9］中的数据，相关材料参数如表1所示.

表1 材料参数

3.1 不同积分时间步长的振动响应分析

先设置差分密度(分段数)为m=8，激励信号为持续时间不足1/4个周期的固定值，改变时间步长Δt，自由振动响应曲线见图4.不同时间步长下数字电路模型在自由振动状态下的共振频率与理论值的误差见表2.可以看出步长越大时数字电路仿真模型自由振动的频率越小于理论值且误差越来越大.当Δt=5ms时，每半个周期约有4个采样点，误差明显放大，故分段数为8时积分时间步长应不大于Δt=2ms，即响应周期内存在约20个以上的采样点能保证结果的精确性.

图4 分段数m=8时不同时间步长下的自由振动曲线

表2 不同时间步长下自由振动的频率误差

3.2 不同模态及分段数的振动响应分析

为验证数字电路仿真模型的高阶模态特性，采用固定持续时间及幅值的余弦激励信号.通过改变频率，可以得到各阶模态下的振动响应曲线.图5是仿真模型前2阶模态的系统共振波形(m=8，Δt=0.1ms).其中图 5b 是 2 阶模态频率余弦激励的共振响应，通过位移响应的峰值变化趋势可以看出，由于模型是从静止位置开始运动，故包含有轻微的一阶模态响应，证明该仿真模型可以同时模拟多个模态的振动特性.

图5 前2阶模态余弦激励时系统的振动曲线

表3是在固定步长Δt=0.1ms下，改变差分的分段数m，分别取前2阶模态的5个和16个谐振周期的平均振动频率及与理论值的误差.

表3 前2阶模态在不同分段数下的频率误差

分段数越多，离散的差分模型越接近于实际物理模型，数字仿真模型所得到的模态共振频率也越接近于理论值;在时间步长和分段数一样的情况下，模态阶数越高，数字仿真模型的模态共振频率与理论值的误差也越大;并且随着模态阶数的增加，模态共振频率也增大，相应对时间步长Δt的要求也越高，在某一阶模态振动响应的各个周期内应存在约20个以上的采样点.

3.3 位移反馈及速度负反馈控制效果分析

为了验证数字电路仿真模型在位移反馈及速度负反馈控制下的控制效果，与文献［9］中的理论值及模拟电路仿真结果进行比较.选取时间步长Δt=0.1ms和分段数m=24，施加不同反馈增益，得到的受位移反馈控制后的第1阶振动频率及与理论值的误差以及速度负反馈控制下振动波形的阻尼比及与理论值的误差，同时与文献［9］中模拟电路仿真结果进行比较见表4和表5.

表4 位移反馈控制下的振动频率及误差

表5 速度负反馈控制下振动信号阻尼比及误差

可以看出，位移反馈控制使系统的自由振动频率随着反馈增益的增加而降低;增大速度负反馈控制的反馈增益，受控的振动波形阻尼比先是逐渐加大到某一个极值后再缓慢降低.数字电路仿真模型比采用模拟电路元件的仿真方法具有更高的精确度，更接近文献［9］中的理论值.

4 结论

本文针对压电悬臂梁结构系统的模态振动控制问题，提出了一种专用的智能元仿真建模方法，在DSP数字电路模型中验证了其可行性.

1)智能元数字电路模型具有可差分密度高、误差小、成本低、抗干扰性高、寿命长、改变模型参数简便等特点，能有效克服有限元仿真模型对智能结构系统分析时间过长及模拟电路仿真精度低、难于建立复杂模型的缺点.

2)智能元仿真模型的时间积分步长应选择小于模型振动周期的1/20才能保证仿真的精确性.而随着差分密度的增大，仿真模型的振动响应越接近理论结果.

3)智能元仿真模型在位移和速度反馈控制下的模态控制频率及阻尼比与理论值的误差远低于模拟电路模型的结果，为研究复杂结构的模态振动控制仿真分析提供了一种新的途径.

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