“全等三角形”题型解析

✿桦川县第二中学 刘芳琪

随着课程改革的不断深入，一大批格调清新、设计独特的开放型、探究型、操作型等创新题纷纷在各地中考试卷上闪亮登场.近年来，有关全等三角形的创新题更令人耳目一新、目不暇接；试题以它的新颖性、思辨性摒弃模式、推陈出新，创造性地描绘了一个绚丽多姿的图形世界.

一、条件开放型

例1：如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明.

你添加的条件是：__________.

证明：

分析：此题答案不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，从而有AC=BD.

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件，有一定的开放性和思考性.

二、结论开放型

例2：如右上图，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E.由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论.（不要添加字母和辅助线，不要求证明.）

结论1：

结论2：

结论3：

分析：由已知条件不难得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同时有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB与∠DCB且垂直平分DB等.以上是解决本题的关键所在，也都可以作为最后结论.

点评：本题是源于课本而高于课本的一道基本题，可解题思路具有多项发散性，体现了新课程下对双基的考查毫不动摇，且更具有灵活性.

三、综合开放型

例3：如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件____.你得到的一对全等三角形是△________≌△________.

分析与证明：在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一组公共边.因此只要添加以下条件之一：①CE= DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根据SSS或SAS证得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE；并且在此基础上又可以进一步得到△CEB≌△DEB.

点评：本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起学生的发散思维，值得重视.

四、构造命题型

例4：如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC，②AD=AE，③∠1=∠2，④BD=CE.请你以其中3个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知、求证及证明过程）.

分析：根据三角形全等的条件和全等三角形的特征，本题有以下两种组合方式：组合一：条件①②③结论：④；组合二：条件①②④结论：③.值得一提的是，若以②③④或①③④为条件，此时属于SSA的对应关系，则不能证得△ABC≌△DEF，也就不能组成真命题.

评析：几何演绎推理论证该如何考？一直是大家所关注的.本题颇有新意，提供了一种较新的考查方式，让学生自主构造问题，自行设计命题并加以论证，给学生创造了一个自主探究的机会，具有一定的挑战性.这种考查的形式值得重视.

五、猜想证明型

例5：如下图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）.

（1）连结_________；

（2）猜想：_________；

（3）证明：

（说明：写出证明过程的重要依据。）

分析：连接FC，猜想：AC=CF.由平行四边形对边平行且相等，有AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC；再加上DE= BF，因此，只要连接FC，根据全等三角形的判定定理SAS，容易证得△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF，从而得到AE=CF.

点评：此题为探索、猜想、并证明的试题.猜想是一种高层次的思维活动，在先观察的基础上，提出一个可能性的猜想，再尝试能够证明它，符合学生的认知规律.本题难度不大，但结构较新，改变了传统的固有模式.

六、判断说理型

例6：两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.

分析与解答：△EMC是等腰直角三角形.由已知条件可以得到：

DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°，∠DAB=90°.

连接AM，由DM=MB可知MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°.

从而∠MDE=∠MAC=105°，即△EDM≌△CAM.

因此EM=MC，∠DME=∠AMC，

又易得∠EMC=90°，

所以△EMC是等腰直角三角形.

点评：本题以三角板为载体，没有采取原有的那种过于死板的形式，在一定程度上能激发学生的解题欲望.先判断，再说理，试题平中见奇，奇而不怪，独具匠心，堪称好题.

七、拼图证明型

例7：一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张直角三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上，且DE交AB于P.且（1）求证AB⊥ED；（2）若PB=BC.请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明.

分析：（1）在已知条件的背景下，显然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D，因而不难得∠APN=∠DCN=90°，即AB⊥ED.

（2）由AB⊥ED可得∠BPD=∠EFD=90°，

又PB=BC及∠PBD=∠CBA.

根据ASA有△PBD≌△CBA，在此基础上，就不难得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB.

点评：本题将几何证明融入到剪纸活动中，让学生在剪、拼等操作中去发现几何结论，较好地体现了新课程下“做数学”的理念.（2）题结论开放，而且结论丰富，学生可以从不同的角度去进行探索，在参与图形的变化过程及探究活动中创造性地激活了思维，令人回味.

八、阅读归纳型

例8：我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下，它们会全等吗？

（1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.

求证：△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整.）

证明：分别过点B，B1作B D⊥CA于D，

B1D1⊥C1A1于D1，

则∠BDC=∠B1D1C1=90°.

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1.

∴BD=B1D1.

（2）归纳与叙述：

由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.分析：（1）由条件AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°.

易得△ADB≌△A1D1B1，因此∠A=∠A1，

又由∠C=∠C1，BC=B1C1，

从而得到△ABC≌△A1B1C1.

（2）归纳为：两边及其中一边的对角分别对应相等的两个锐角三角形（或直角三角形或钝角三角形）是全等的.

点评：边边角问题是全等三角形判定中的难点，也是学生易出错的内容，要涉及三角形形状的分类.本题构思新颖，创造性地设计了阅读情境，引领学生跨越障碍，引导学生合情推理并总结概括，考查了学生阅读理解、类比、概括等综合能力，同时也培养了学生灵活、精细、严谨的数学思维品质.

九、作图证明型

例9：已知Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）①作∠BAC的平分线AD交BC于D；②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；③连接ED.

（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△_______≌△_______并加以证明.

分析：（1）按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD、作线段AD的垂直平分线，并连接相关线段.

（2）由AD平分∠BAC，

可以得到∠BAD=∠DAC；由EF垂直平分线段AD，

可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，

从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共边，

从而有△AEH≌△AFH≌△DEH.以上三组中任选一组即可.

点评：作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一，动手作图，使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣，并实现数学的再创造，从而进一步感受数学的无限魅力，促进数学学习.