侯 健,臧 睿
(东北林业大学)
凸集是非光滑分析中的核心概念,近几十年来,关于凸集以及凸函数的研究已经获得很多成熟的结果[1-3].基于凸集的良好性质,很多学者从不同角度推广了凸集的概念,以使非光滑分析理论可以涵盖更广泛的集合类.1986年Mond[4]等人首次提出了不变凸集的概念,随后关于不变凸集的研究陆续展开[5-7],2009年Fulga[8]首次提出E-不变凸集的概念,并讨论了E-不变凸集和E-不变凸函数的若干性质,该文给出了(F,A)-不变凸集并讨论了若干基本性质.
设X是一个实向量空间,A是X中的仿射集,即A满足:对任意a1,…,an∈A及任意实数λ1,…,λn满足,都有
设F:X→2X是一个集值映射,如果S1,S2是X的子集,并且λ,μ是实数,首先回顾熟知的常用记号和性质如下:
不难验证:
如果S1是凸集并且λ,μ>0,那么:
定义1[4]集合M⊂Rn称为不变凸集,如果存在向量函数η:Rn×Rn→Rn,那么对∀x,y∈M,λ∈[0,1],有:
定义2[8]集合M⊂Rn称为关于映射η:Rn×Rn和E:Rn→Rn是E-不变凸的,如果对∀x,y∈M,λ∈[0,1],有:
定义3 称集合M⊂X关于映射η:X×X→X是(F,A)-仿射不变凸的,如果对∀x,y∈M,λ∈[0,1],有:
定理1 如果集合M⊂X关于η:X×X→X是(F,A)-仿射不变凸的,则F(M)⊂M+A.
证明 因为M⊂X关于η是(F,A)-不变凸的,所以对∀x,y∈M和0≤λ≤1有:F(y)+ λη(F(x),F(y))⊂M+A.取λ=0,有F(y)⊂M+A,可得F(M)⊂M+A,证毕.
为了研究(F,K)-凸集的交集,我们需要下面的仿射交性质:设M1,M2为X的子集,如果对任意m1∈M1,m2∈M2,存在λ∈R使得:
则称M1,M2具有仿射交性质.显然集合M1,M2具有交集表示性质等价于对任意m1∈M1,m2∈M2,aff({m1,m2})∩(M1∩M2)≠φ.其中aff({m1,m2})表示{m1,m2}的仿射包.与此类似的一条性质由Pallaschke[9-11]在研究拓扑向量空间中的紧凸集对的代数运算若干性质时给出的.
定理2 假设M1,M2是X中关于η:X×X→X的两个(F,A)-仿射不变凸集,它们满足仿射交性质,则M1∩M2是(F,A)-仿射不变凸的.
证明 因为M1,M2是X中关于η的(F,A)-仿射不变凸集,所以对∀x1,y1∈M1,∀x2,y2∈M2和λ∈[0,1],有:
和
这样对任意x,y∈M1∩M2,有:
设z∈(M1+A)∩(M2+A),那么z=m1+a1=m2+a2,这里m1∈M1,m2∈M2,a1,a2∈A.从M1,M2的仿射交性质,存在λ0∈R使得:
由于A为仿射集,可得
因此
这说明M1∩M2是(F,A)-仿射不变凸的,证毕.
一个集值映射F:X→2X在集合M⊂X上称为是次可加的,如果对∀x,y,有:
定理3 设M1,M2是X中关于映射η:X×X→X的两个(F,A)-仿射不变凸集合,F在M1∪M2上是次可加的,且满足η(u1+v1,u2+v2)⊂η(u1,u2)+η(v1,v2),则M1+M2是(F,A)-仿射不变凸的.
证明 设p,q∈M1+M2,那么存在p1,q1∈M1,p2,q2∈M2使得p=p1+p2,q=q1+q2,由M1,M2是关于η的(F,A)-仿射不变凸的可知,对∀λ∈[0,1],有:
和
这样有
[1] Rockatellar R T.Convex Analysis[M].Princeton:Princeton Univ Press,1970.
[2] Urruty JB H,Lematechal C.Fundamentals of Convex Analysis[M].北京:世界图书出版社公司,2004.
[3] 胡毓达,孟志青.凸分析与非光滑分析[M].上海:上海科学技术出版社,2000.
[4] Ben-Israel M A,Mond B.What is Invexity[J].Journal of the Australian Mathematical Socienty,1986,28B:1-9.
[5] Pini R.Invexity and Generalized Convexity[J].Optimization,1991,22:513-525.
[6] Mohan SR,Neogy SK.On Invex Setand Preinvex Functions[J].JMath Appl,1995,189(3):901-908.
[7] Weir T,Mond B.Preinvex Functions in Multiple Objective Optimizations[J].Journal of Mathematical Analysis and Application,1998,136:177-189.
[8] Fulga C.Preda V.Nonlinear Programming with E-preinvex and Local E-preinvex Functions[J].European Journal of Operational Research,2009,192:737-743.
[9] Pallaschke D,Urbanska W,Urbanski R.C-Minimal Pairs of Compact Convex Sets[J].Journal of Convex Analysis,1997(4):1-25.
[10]Pallaschke D,Urbanski R.Invariants of Pairs of Compact Convex Sets[J].Journal of Convex Analysis,1999,6:367-376.
[11]Pallaschke D,Urbanski R.Reduction of Quasidifferentials and Minimal Representations[J].Mathematical Programming,1994,66:161-180.