半平面Poisson方程边值问题分析

郭时光

（四川理工学院理学院，四川 自贡643000）

其中：G（M，M 0）是区域V的Green函数；n M0是边界∂V上点M 0（x 0，y 0，z0）处关于区域V的向外法线方向。

0 前 言

设有上半平面Poisson方程边值问题［1－6］

其中：f与g均为连续且可积的函数。

对于问题 （1），在目前众多的数学物理方程著作中，有的未能给出其解［1，2］，有的直接采用Poisson方程Direchlet问题的Poisson公式，从而得出其解的积分表达式［3，4］为

其中G（x，y；x0，y0）是上半平面0≤y的Green函数

然而，一方面，问题 （1）不是严格的Direchlet问题，因为上半平面的边界可视为由四条直线

组成的，该问题的边界条件是不完整的。因此，从逻辑上来说，这个问题用Poisson方程Direchlet问题的Poisson公式来定解是说不通的；另一方面，在式 （2）中，如果代入y＝0，或者令y→0，则均得u（x，0）＝0。可见，这个解不能满足问题 （1）中的边界条件，因而人们难以接受这个解。那么，这个问题到底应该如何来解呢？鉴于这个问题的重要性，下面讨论这个问题。

1 引 理

引理［5，6］在Poisson方程 Direchlet问题中，设定解区域V具有逐片光滑的边界∂V，自由项f（M）与g（M）均为连续可积函数。如果V是二维区域，则问题 （4）存在解的积分表达式

其中：G（M，M0）是区域V的Green函数；nM0是边界∂V上点M0（x0，y0，z0）处关于区域V的向外法线方向。

2 问题的解

考虑如式 （3）所示的Green函数G＝G（x，y；x0，y0）。计算它关于边界直线y＝0的向外法线方向导数，因为上半平面关于边界直线y＝0的向外法线方向为n＝（0，－1），故得

分别计算Green函数G关于上半平面其它三个边界直线的向外法线方向导数，得

所以，如果用∂V表示上半平面的四条边界直线，则无论将目标函数u在其中三条边界直线y＝＋∞，x＝±∞上赋予任何连续的值，总有

这样，将问题 （1）视补足边界条件而成为Direchlet问题之后，则可用引理的二维Poisson方程Direchlet问题Poisson公式计算。将上式中参变点坐标（x0，y0）与变点坐标（x，y）互换，然后代入公式 （5），最后将积分化为重积分，于是得到解的积分表达式 （2）。

为了改变式（2）不满足边界条件这一状况，如果y＞0，将式（2）中的前面一个积分作变换x0＝x＋ys，则得

如果y＝0，也用上式右边代替左边，这样，解的积分表达式 （2）变为

3 解的正规性

证 根据条件，可以将y＝0代入式 （6）中，用G（x，0；x0，y0）＝0，得

当y＞0时，式 （6）可以表示为式 （2）。将式 （2）作关于自变数x，y的Laplace运算△，则用条件，等式 △G（x，y；x0，y0）＝－δ（x－x0，y－y0），以及δ函数的筛选性质，得

由此可见，这时表达式 （6）是问题 （1）的正规解。

［1］ 查中伟．数学物理偏微分方程 ［M］．成都：西南交通大学出版社，2005：139－140．

［2］ 郭玉翠．数学物理方法 ［M］．北京：北京邮电大学出版社，2003：313．

［3］ 王元明．数学物理方程与特殊函数 （第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2003：95－97．

［4］ 郭时光．数学物理方程 ［M］．成都：西南交通大学出版社，2005：112．

［5］ 谷超豪，李大潜．数学物理方程 ［M］．北京：人民教育出版社，1979：115．

［6］ 严正军．数学物理方程 ［M］．合肥：中国科学技术大学出版社，1996：34．