基于微平面模型的混凝土本构矩阵

贾明晓，解 伟，温中华

（华北水利水电学院，河南 郑州 450011）

目前微平面模型得以实际应用的主要是M2模型［9－11］，M2 模型于 1988 年由 Zdenek P Baant等提出［3］．M3及以后的微平面模型提出了应力边界的概念，能够拟合更多的材料受力特征，但增加了模型的复杂程度，存在着模型参数过多且难以确定等困难．在M1和M2模型中，微平面上的应力－应变关系曲线是通过分析微平面的受力特征定性给出的．为了更精确地定义微平面上的本构关系，笔者结合M1和M2模型给出了微平面上的应力－应变刚度矩阵，并提出了基于逐步拟合法的混凝土微平面本构模型．

1 微平面本构模型

连续体中的任一点具有各种不同方向的切面，这种代表某一方向的平面称为微平面．微平面本构模型是通过微平面上的本构关系、动态约束和虚功原理将宏观的应力－应变关系建立起来的．

以M1模型为例，将微平面上的本构关系定义为：任意方向微平面的法向应力sn是该微平面的法向应变en的函数，即sn=F（ en）．

动态约束假定应变满足投影关系，即微平面上的应变可以表示为en=ninjeij，其中ni，nj表示相应坐标轴与微平面法向量夹角的方向余弦．

根据虚功原理，可以得到动态约束下的宏观应力张量为

2 微平面刚度矩阵

在给出微平面刚度矩阵的具体计算方法之前，首先对其进行定性分析．宏观的应力－应变必须满足以下增量关系

刚度矩阵可以用各个微平面的刚度矩阵之和表示，

式中：ωj为第j个微平面的权重，共有n个微平面;Sj为第j个微平面的应力－应变转换矩阵．微平面上的局部坐标和微应变分别如图1和图2所示．

将微平面上的本构关系定义为：任意方向微平面的法向应力是该微平面的法向应变的函数;剪切应力是该微平面剪切应变的函数．可用矩阵形式表示为

则微平面的刚度矩阵可以写成如下形式

这里函数fn（·）和fs（·）的形式与宏观荷载状态无关，它们的自变量反映微平面所对应的变形状态．在，一样，因此微刚度矩阵将出现变化，宏观上表现为切线刚度的变化．

3 逐步拟合法

下面根据一组宏观的单轴试验数据，逐步拟合出fn（·）和fs（·）的函数值，以及它们自变量的变化范围．

3．1 定性分析

式（6）—（11）表明横观各向同性材料的宏观本构矩阵有5个独立的常数．

3．2 逐步拟合

对于给定的单轴试验数据，将宏观应力、应变路径分成若干加载步i，得到一组立方体试件单轴试验的宏观应力、应变状态为σi和εi，

3．2．1 初始加载步（i=1）

1）计算初始微平面刚度．初始加载步的应力、应变增量关系为

宏观初始切线刚度矩阵为

由前面定性分析结果可知式（17）中 Dn，0和Ds，0均为式（6）的矩阵形式．将式（17）代入到式（14），可得到2个独立的方程：

由式（18）即可算出初始微刚度 fn，0和 fs，0．

2）计算初始弹性应变分量的取值范围．对于第j个微平面，可计算出局部法向应变为

3．2．2 逐次计算微平面的非线性切线刚度系数

到此为止，已经根据一组宏观的单轴试验数据，确定了函数fn（·）和fs（·）的自变量的变化范围，并逐步拟合出了函数fn（·）和fs（·）与一系列自变量对应的函数值，再由式（3）和式（2）即可分别求出微平面的切线刚度矩阵和宏观本构矩阵．

3．3 算 例

将混凝土受压应力－应变全曲线用无量纲坐标x=ε/εp，y=σ/fc表示，采用 Hongnestad 提出的全曲线方程

作为一组宏观的单轴试验数据拟合微平面切线刚度，然后利用文中提出的模型计算混凝土单轴受压时的应力－应变关系，拟合结果如图3所示．

图3 单轴受压应力－应变全曲线拟合结果

从图3可以看出，采用文中提出的模型对Hongnestad全曲线的拟合结果较好．计算曲线与理论曲线在上升段到峰值点基本吻合，到达峰值点后在软化段的前期也基本拟合．到软化段的后期计算结果与理论值出现偏差，不过这一阶段对于工程应用来说影响不大．

4 结语

1）既继承了M1和M2模型概念简单的特点，又能够基于试验数据给出微平面上应力－应变关系函数的量化形式．

2）给出了基于微平面的应力－应变刚度矩阵，为将该模型用于有限元计算提供了基础．

3）该模型基于单轴试验数据的拟合结果可用于计算材料的多轴本构关系．

4）此本构模型给出了切线刚度矩阵，可用来进行隐式分析．

［9］ Ignacio Carol，Pere C Prat，Zdenek P Baant．New explicit microplane model for concrete：theoretical aspects and numerical implementation［J］．International Journal of Solids and Structures，1992，29（9）：1173 －1191．

［10］ Cofer W F，Kohut S W．A general nonlocal microplane concrete material model for dynamic finite element analysis［J］．Computers ＆ Structures，1994，53（1）：189 －199．

［11］ Pivonka P，Obolt J，Lackner R，et al．Comparative studies of 3D-constitutive models for concrete：application to mixed-mode fracture［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，2004，60（2）：549 －570．