基于直接自适应的挠性航天器姿态稳定控制

刘敏 徐世杰 韩潮

（北京航空航天大学宇航学院，北京 100191）

1 引言

在航天器执行姿态控制任务时，不但会改变航天器的姿态，也会引起挠性部件的振动，而挠性部件的振动会影响航天器的控制精度甚至导致航天器失稳［1］，所以挠性航天器的姿态控制问题一直是航天领域的研究热点之一。针对挠性航天器姿态控制问题，文献［2－4］提出了基于状态相关的Riccati方程（State－Dependent Riccati Equation，SDRE）控制方法、变结构控制、鲁棒控制等诸多控制方法。其中，直接自适应控制方法是由Sobel等于1979年首先提出的［5］，因其具有无需被控系统全状态可测，不依赖实际被控对象参数，无需进行实时参数估计，可以实现低维控制器对高维被控对象进行控制等特点，而在挠性空间结构控制［6－7］、航天器控制［8－9］以及飞机飞行控制［10］等领域有广泛理论研究和应用。然而为了保证直接自适应控制闭环系统的稳定性，被控对象需满足近似严格正实性条件（Almost Strict Positive Real，ASPR）［7，11］。在大部分实际工程问题中，被控对象因其相对阶数不小于2而不满足ASPR 条件。尽管Mehiel等研究了以速度加上位移的比例项作为输出的二阶或者近似二阶系统满足近似严格正实性的条件，并给出了位移比例系数的取值范围［12］，但是该比例系数的取值依赖系统参数，且该方法无法处理具有高相对阶数的系统。而Bar－Kana则提出了多种可以使得非ASPR 系统满足ASPR 条件的平行前馈补偿方法［11］，但是在引入平行前馈补偿后，实际输出只能保证对参考输出的有界跟踪，且平行前馈补偿器的设计需要被控对象的参数，从而降低了直接自适应控制对被控对象参数的独立性。

针对传统直接自适应控制在非ASPR 系统控制应用中的局限和困难，本文提出了将高相对阶数被控对象分解成满足ASPR 条件的低相对阶串联子系统，然后利用退步控制方法［13］和直接自适应控制方法设计自适应控制器的策略，并将该控制策略应用到挠性航天器自适应姿态稳定控制器设计中。

2 挠性航天器模型

考虑中心刚体加挠性附件的挠性航天器模型，利用Lagrange方法建立挠性航天器的数学模型，并利用文献［14］的结果，可以直接给出带有挠性附件的挠性航天器动力学方程。航天器姿态动力学方程和挠性附件振动方程分别表示为

式中 θ＝［φ θ ψ］T为航天器三轴欧拉角；ω0为航天器轨道角速度。式（3）可以写成

相对于航天器姿态动力学方程，航天器的姿态运动学方程不直接受干扰的影响，只与轨道角速度有关，在轨道角速度ω0准确时为准确模型。经过上述假设和处理，挠性航天器最终可以描述为

3 控制器设计

3.1 参考模型的选取

为了设计挠性航天器的直接自适应姿态稳定控制器，首先需根据实际控制任务建立具有理想性能的参考模型。考虑航天器的运动学方程式（4），定义系统的输出为三轴欧拉角θ，则运动学子系统可以描述为

式中 B＝C＝E3为3维单位矩阵。

由于航天器的运动学子系统在轨道信息准确时为精确模型，故可以选择具有理想控制性能的参考模型：

式中 θm＝［φmθmψm］T为运动学参考子系统的状态变量；ωm∈R3为运动学子系统的参考输入；ym∈R3为实际系统需要跟踪的理想输出；Tm∈R3为理想参考输入；Am、Bm、Cm分别为适当维数的系数矩阵。

3.2 中间控制律

根据退步控制，首先以挠性航天器运动学子系统为研究对象，选取姿态角速度ω为中间虚拟控制变量，并利用直接自适应控制方法对其进行中间控制律设计，使得设计姿态输出实现对理想输出的渐近稳定跟踪。由于运动学子系统满足ASPR 条件，由直接自适应控制理论以及指令发生器跟踪（Command Generator Tracking，CGT）理论可知运动学子系统能够实现对参考模型的理想跟踪［11］，此时有

式中 上标“＊”表示在运动学子系统实现对参考模型理想跟踪时，运动学子系统各变量所处的状态；θ＊、ω＊、y＊分别为理想状态、理想输入以及理想输出。定义状态误差和输出误差分别为eθ＝θ－θ＊以及ey＝y－ym＝Cθ－Cmθm。在实际系统实现对参考模型理想跟踪时，系统有θ＝θ＊，ym＝y＊＝Cθ＊＝Cmθm。所以有

设计中间控制律如下

式中 K为自适应参数矩阵，其自适应律将在接下来给出。根据CGT 理论，可令K＊＝表示实际系统对参考模型实现理想跟踪时K 的取值。值得一提的是K＊无需在控制器设计中求解其真实值，在此引入只是为了稳定性证明和自适应律的推导［11］。定义δ＊为实现理想跟踪时实际系统的输入，则

取中间控制变量ω＝δ，对式（6）求导，得到

式（9）与式（7）组成闭环系统的误差状态方程。接下来证明在中间控制律（8）的作用下闭环系统的稳定性。取正定的Lyapunov函数

式中 P为3维正定对称矩阵；tr表示矩阵求迹运算；Γ＝diag［Γθ，Γω，Γe］，Γθ，Γω，Γe均为正定的控制器参数矩阵。对式（10）求导，可得

令等式右端第二项为零，则有

由式（5）可知航天器运动学子系统为一阶系统，故有实际运动学子系统满足近似严格正实性，所以有下述Kalman－Yacubovic关系式成立。

式中 Q为正定阵。最终得到Lyapunov函数的导数为

式中 K0为K 的初始值。

3.3 姿态控制律

退一步以航天器动力学子系统为研究对象，利用Lyapunov方法推导航天器的姿态控制律。首先定义动力学子系统输出航天器姿态角速度对中间控制变量δ的跟踪误差为eω＝ω－δ。由于跟踪误差eω的存在，所以ω＝eω＋δ，式（9）以及（13）则为

对上述Lyapunov函数求导得到

选取控制律为

式中 Δ为正定对称控制系数阵。将上述控制律代入到方程（15）中，则

当且仅当eθ、eω均为0时，不等式取等号，根据LaSalle不变性原理可知实际航天器实现对参考模型的跟踪渐进稳定，既有t→∞，则eθ→0，eω→0。将式（7）和（12）代入式（16）则

式中ey、eω均可以直接用于控制器设计，需要进一步求解，由式（8）可知

图1 自适应姿态控制器结构示意Fig.1 Sketch map of the adaptive attitude controller

将式（18）代入到式（3）中T的定义之中有

则挠性航天器的姿态控制律由式（8）、（14）、（17）、（18）和（19）组成。挠性航天器自适应姿态控制器结构如图1所示。

4 数值仿真

为验证本文所提出的自适应控制器对挠性航天器姿态稳定控制的有效性，选取参考文献［15］中的挠性航天器作为数值仿真对象，其中航天器的轨道为高度h的圆轨道。为了验证控制器对挠性振动的抑制作用，在数值仿真中挠性附件的各阶阻尼系数均取为零。航天器的具体参数以及相关控制参数如表1所示。

表1 航天器数值仿真参数Tab.1 Parameters for simulation of spacecraft

选择与实际航天器系统质量分布以及构型一致的、不受任何干扰的、轨道信息与实际航天器一致的理想刚体航天器，对该刚体航天器设计具有理想性能的PD控制器，并以所得到的闭环系统作为参考模型。为便于计算进一步对参考模型进行简化，将参考刚体卫星的惯量矩阵Im对角化，Im的取值如表1所示。参考刚体航天器的初始姿态角与姿态角速度与实际挠性航天器的姿态信息一致。参考模型中的PD控制器参数Kd，KP的取值如表1所示。仿真时长为300s，仿真结果如图2～图5所示。

航天器三轴姿态角分别对相应参考姿态角的跟踪曲线如图2所示，航天器姿态角速度分别对相应期望姿态角速度的跟踪曲线如图3所示。可以看出在本文所设计的控制器作用下，航天器的姿态角和姿态角速度均实现了对理想参考值的稳定跟踪，航天器实现了姿态稳定控制。挠性模态坐标的变化曲线如图4所示，由于航天器参数中各阶模态的阻尼系数均设为0，航天器姿态控制力矩的变化曲线如图5所示。从图5可以看出各阶模态坐标均被控制在较小的范围之内，控制器实现了对挠性振动的有效抑制。

数值仿真结果表明，本文所提出的自适应姿态稳定控制器既能实现航天器姿态角对理想输出的渐近跟踪，从而实现航天器的姿态稳定控制，又能有效地抑制航天器的挠性振动，其对挠性航天器的控制是有效的。

图2 航天器姿态角Fig.2 Attitude angles of spacecraft

图3 航天器姿态角速度Fig.3 Attitude angular velocities of spacecraft

图4 各阶挠性模态位移Fig.4 Flexible modal displacement

图5 航天器姿态控制力矩Fig.5 Attitude control torque of spacecraft

5 结束语

针对不满足近似严格正实性的被控对象，本文提出了首先将其分解为低阶串联子系统，然后利用退步控制方法和直接自适应控制方法进行自适应控制器设计的策略，并将所提出的控制策略应用到挠性航天器姿态稳定控制器设计中。理论分析和数值仿真结果表明，所得到的姿态控制器继承了传统直接自适应控制的特点，能够有效抑制挠性附件的挠性振动，并实现航天器的姿态稳定控制。

［1］KAZUO TSUCHIYA.Dynamics of a spacecraft during extension of flexible appendages ［J］.Journal of Guidance and Control，1983，6（2）：100－103.

［2］张军，徐世杰.基于SDRE方法的挠性航天器姿态控制 ［J］.宇航学报，2008，29（1）：138－144.ZHANG JUN，XU SHIJIE.Control of flexible spacecraft via state－dependent riccati equation technique［J］.Journal of Astronautics，2008，29（1）：138－144.

［3］HU QINGLEI，MA GUANGFU.Control of three－axis stabilized flexible spacecraft using variable structure strategies subject to input nonlinearities［J］.Journal of Vibration and Control，2006，12（6）：659－681.

［4］TOMOYUKI NAGASHIO，TAKASHI KIDA，TAKASHI OHTANI，et al.Design and implementation of robust symmetric attitude controller for ETS－VIII spacecraft［J］.Control Engineering Practice，2010，18：1440－1451.

［5］KENNETH SOBEL，HOWARD KAUFMAN，LAWRENCE MABLIUS.Model reference output adaptive control system without parameter identification［C］.18th IEEE Conference on Decision and Control，Fort Lauderdale，Florida.New York：Institute of electrical and electronics engineers，1979：347－351.

［6］IZHAK BAR－KANA，HOWARD KAUFMAN.Some applications of direct adaptive control to large structural systems［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1984，7（6）：717－724.

［7］IZHAK BAR KANA，JOSEPH Z BEN ASHER.Simple adaptive control application to large flexible structures ［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34（6）：1929－1932.

［8］QUANG M LAM，RICHARD CHIPMAN，JOHN SUNKEL.Adaptive control applied to space station attitude control system ［R］.AIAA－1992－4483，1992.

［9］SETH A HARVEY，MARK J BALAS.Direct model reference adaptive attitude control of a PNP satellite with unknown dynamics［R］.AIAA－2007－2436，2007.

［10］IZHAK BARKANA.Classical and simple adaptive control for nonminimum phase autopilot design［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2005，28（4）：631－638.

［11］HOWARD KAUFMAN，IZHAK BAR－KANA，KENNETH SOBEL.Direct adaptive control algorithms［M］.2nd ed.Berlin：Springer，1998.

［12］ERIC ANTHONY MEHIEL，MARK J BALAS.Determining strictily positive realness from system modal characteristics［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamic，2007，30（5）：1539－1542.

［13］郑敏捷.退步控制设计方法在航天器姿态控制系统中的应用 ［D］.北京：北京航空航天大学，2007.ZHENG MINJIE.Spacecraft attitude control system design via backstepping control method ［D］.Beijing：Beihang University，2007.

［14］章仁为.卫星轨道姿态动力学与控制 ［M］.北京：北京航空航天大学出版社，1998.ZHANG RENWEI.Satellite orbit and attitude dynamic and control［M］.Beijing：Beihang University Press，1998.

［15］DI GENNARO S.Passive attitude control of flexible spacecraft from quaternion measurements［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2003，116（1）：41－60.