谈2011年高考全国理综卷中的一道命题——带电粒子在复合场中的运动

陈建华 王竹青

(武汉市第一中学 湖北 武汉 430000)

带电粒子在电磁场中的运动是高考的一个重要内容，因为该理论经常被用到现代科技和生产生活中.高考试题主要考查学生对带电粒子在电场中和磁场中的受力分析及对物体运动情况的判断.试题经常以电场和磁场叠加的形式出现，也就是所谓的“复合场”.2011年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试Ⅱ卷第25题考查的就是带电粒子在复合场中的运动.但该题没有考虑清楚实际的物理情境，在电场的边界模型上出现了问题.

带电粒子在复合场中的运动问题与解决力学题方法类似，不同之处是多了电场力和洛伦兹力.因此，带电粒子在复合场中的运动问题除了利用力学三大观点即动力学观点、能量观点、动量观点分析外，还要注意电场和磁场对带电粒子的作用，如电场力做功与路径无关，洛伦兹力方向始终和运动速度方向垂直，永不做功等.

【原题】如图1，与水平面成θ0=45°的平面MN将空间分成Ⅰ和Ⅱ两个区域.一质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平向右射入Ⅰ区.粒子在Ⅰ区运动时，只受到大小不变,方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在Ⅱ区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里.求粒子首次从Ⅱ区离开时到出发点P0的距离.粒子的重力可以忽略.

解析：在电磁场中粒子先做类平抛运动，后做匀速圆周运动，如图2所示.两运动的衔接条件为粒子在P1点的速度大小和方向.求粒子首次从Ⅱ区离开的位置P2到出发点P0的距离d,必须知道在电场中的平抛位移和在磁场中运动的弦长.根据电场力方向和左手定则,正粒子都向N侧运动;所以d=s+L,其中s为在电场中的位移，L为在磁场中的圆的弦长.

图1

图2

正粒子垂直电场进入做类平抛运动，初末位置在45°角的平面MN上，说明位移方向角是45°，以出发点为坐标原点，水平向右垂直电场方向为x轴，沿电场方向为y轴，建立直角坐标系，根据运动分解公式得

x=v0t

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

速度与水平方向的夹角θ满足tanθ=2tanθ0=2 ,所以

(7)

联立式(1)～(6),化简得

(8)

进入磁场时与边界MN的夹角为θ-θ0，做匀速圆周运动.根据牛顿第二定律得

(9)

作出圆轨迹，则弦长和半径满足关系

(10)

联立式(9)、(10)得

所以粒子首次从Ⅱ区离开时到出发点P0的距离为

处理类似带电粒子在分区域的电场、磁场中的运动问题，首先应该分区域单独研究带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动;然后找出在两种场的分界线上的两种运动的联系即可解决问题.其中，运动的合成与分解和几何关系的运用是解题的关键.以上的解析过程从动力学角度分析看似没有问题，但从能量角度看,可发现不少问题.

带电粒子在电场中运动，由电场力做功的性质知电场力做功与运动路径无关，仅与初末位置有关.此题中有三个关键位置P0，P1和P2，带电粒子由位置P0运动至位置P1，沿电场线方向距离为d1，如图2,仅受电场力作用,根据动能定理电场力做的功等于动能的变化量

在匀强磁场中带电粒子仅受洛伦兹力作用做匀速圆周运动.故由位置P1至P2，洛伦兹力仅改变带电粒子的速度方向，不改变速度大小.

若由整体分析，在电场中从P0至P2沿电场线方向距离为d2，如图2,电势能的减少量ΔEP=qEd2，根据能量守恒定律，电势能的减少量等于动能的增加量，得

两种不同的分析却得出带电粒子在同一位置P2速度大小不同.为何出现这一结果？这一模型究竟出现了什么问题？我们不妨再次深入研究.

按照这个模型，如果将题中匀强磁场方向改变为垂直于纸面向外，带电粒子自匀强电场进入磁场中，进入磁场由牛顿第二定律得

图3

匀速圆周运动的半径大小不变，但带电粒子的运动轨迹将发生较大的变化，如图3所示.

很明显这样一个模型在现实中不可能存在，题中给出的边界条件是不可能出现的.它忽略了静电场是有势场的事实，即电场力做功与路径无关.

由静电场的环路定理[1～4]，即静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零，即

∮LE·dl=0

它和“静电场力做功与路径无关”的说法完全等价.其微分形式为×E=0可得

n×(E2-E1)=0

此式表示界面两侧E的切向分量连续，即静电场的边界必须与电场线垂直，电场的边界必须是等势面或等势线.

在实际应用中设置电场边界就是在截断边界处施加导电壁或导磁壁[5]，根据导体的属性，沿着导电壁(导磁壁)方向电场(磁场)必然为零，所以具体实现时也就是在该边界上把电场(磁场)切向分量强制设为零.根据麦克斯韦定律，磁场(电场)的法向分量也为零.

高考试题具有权威性和导向性，应该符合物理的基本规律并与实际模型相结合.

参考文献

1 赵凯华，陈熙谋. 电磁学 .北京：高等教育出本社，2003.73，213，609，793

2 郭硕鸿.电动力学(第二版). 北京：高等教育出版社，1997.37

3 陈秉乾，舒幼生，胡望雨.电磁学专题研究. 北京：高等教育出版社，2001.597

4 尹真.电动力学.北京：科学出版社，2005.66，90

5 胡斌 ,杨育霞 .不同电磁边界设置的仿真研究.微计算机信息,2009，25(9-1):140～142