灵活应用乘法公式巧妙解题

　　摘 要： 正确灵活地应用乘法公式，可以使运算简便，事半功倍，从而提高学习效率. 本文主要从正用、变形用、逆用等方面举例说明如何灵活应用乘法公式巧妙解题.
　　关键词： 乘法公式 结构特征 应用
　　
　　把具有特殊形式的多项式相乘的式子及其结果写成公式的形式，就是“乘法公式”.它可按多项式乘以多项式的法则进行推导.
　　“乘法公式”主要指：
　　平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b
　　完全平方公式：（a±b）=a±2ab+b
　　这两个基本公式应用十分广泛，技巧性也比较强.正确灵活地应用乘法公式，可以使运算简便，事半功倍，从而提高学习效率；否则，运算繁杂，甚至走入误区，造成困难，使一些学生产生厌学情绪.因此教师在教学时，要正确引导学生的学习方法，培养他们的学习兴趣.注意引导学生进行观察、分析，掌握每一个公式的结构特征，理解每一个公式中的每个字母的广泛内涵及其变形.公式中的a、b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合某个公式的结构特征，就可以运用这个公式.在进行整式乘法运算时若能仔细观察乘式的结构特征，根据它的特征选择合适的方法，不仅能使问题化繁为简，还有助于培养学生的创新思维和探索精神.下面举例说明乘法公式的灵活运用.
　　一、分清平方差公式中的a、b，对号入座
　　例1：计算（3y-x）（-x-3y）
　　分析：将两个括号内的相同项（-x）看做a，将符号相反的项去掉符号后（3y）看做b，就可以直接利用平方差公式.
　　解：（3y-x）（-x-3y）
　　 =［（-x）+3y］［（-x）-3y］
　　 =（-x）-（3y）
　　 =x-9y
　　例2：计算（a-b+c-d）（a-b-c+d）
　　分析：把两个括号内相同项归纳为一类作为a，把只有符号相反的项归纳为一类作为b，再用平方差公式计算.
　　解：原式=［（a-b）+（c-d）］［（a-b）-（c-d）］
　　 =（a-b）-（c-d）
　　 =a-2ab+b-（c-2cd+d）
　　 =a-2ab+b-c+2cd-d
　　小结：两个项数相同且相应各项至多只有符号不同的两个多项式相乘，把相同的项归类作为a，仅有符号相反的项归类作为b，然后就可用平方差公式进行计算.
　　二、应用公式，简便计算
　　例3：计算2012-2011×2013
　　解:2012-2011×2013
　　 =2012-（2012-1）（2012+1）
　　 =2012-（2012-1）
　　 =2012-2012+1
　　 =1
　　三、公式变形，灵活运用
　　将公式（a±b）=a±2ab+b变形为a+b=（a±b）?芎2ab.
　　例4：已知x+y=5，xy=4，求x+y的值.
　　解：x+y=（x+y）-2xy=5-2×4=17
　　四、逆用公式，巧妙解题
　　例5：计算2011-2010+2009-2008+…+3-2+1
　　分析：直接计算很繁，若逆用平方差公式，再用前几个自然数和公式，很快就可求解.
　　解：2011-2010+2009-2008+…+3-2+1
　　 =（2011+2010）（2011-2010）+（2009+2008）（2009-2008）+…+（3+2）（3-2）+1
　　 =（2011+2010）×1+（2009+2008）×1+…+（3+2）×1+1
　　 =2011+2010+2009+2008+…+3+2+1
　　 =
　　 =2023066
　　例6：计算（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）
　　分析:直接相乘很难求得结果，若逆用乘法平方差公式，就可化难为易，巧妙求解.
　　解：原式=（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+）（1-）（1+）
　　 =×××…×××
　　 =×
　　 =
　　五、巧配公式，化难为易
　　例7：计算2（3+1）（3+1）（3+1）…（3+1）+1
　　分析：观察乘积的每个因式，从第三个因式起每个因式均为3的偶次幂与1的和，若给第二项（3+1）乘以（3-1）即乘以2，就可利用平方差公式简化计算.
　　解：原式=（3-1）（3+1）（3+1）（3+1）…（3+1）+1
　　 =（3-1）（3+1）（3+1）…（3+1）+1
　　 =（3-1）…（3+1）+1
　　 =（3）-1+1
　　 =3
　　注意：有时为了使用公式需将代数式进行恒等变形.
　　总之，不管是直接运用公式，还是经变形后运用公式，关键是要掌握公式的结构特征，理解公式中字母的广泛含义，要在理解基础上熟记公式，灵活运用.记住了公式，只是获得了一定的知识，但知识的获得不等于能力的养成.能力是知识的正确有效的熟练度的应用.
　　教师在教学中注意引导学生从解题的思想方法上作必要的概括.教师的引导作用就在于帮助学生实现这个由知识到能力的转化.
　　
　　参考文献：
　　［１］义务教育课程标准实验教科书（数学八年级上册）.人民教育出版社，2008.