数形结合思想在高中数学中的应用

　　摘 要： 数形结合思想是培养和发展学生的空间观念和数感，进行形象思维与抽象思维的交叉运用，使多种思维互相促进、和谐发展的主要形式，可大大提高学生理解问题、分析和解决问题的能力，提高学生数学思维能力的深度和广度，从而提高复习效率.
　　关键词： 数形结合 抽象思维 形象思维 有机结合
　　
　　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化解决数学问题的思想.它包含“以形助数”和“以数助形”两方面，其应用大致可分为两种情形：一是借助形的生动和直观性阐明数与数之间的联系，即以形作为手段，以数作为目的；二是借助数的精确性和规范严密性阐明形的某些属性，即以数作为手段，以形作为目的.数形结合思想是培养和发展学生的空间观念和数感，进行形象思维与抽象思维的交叉运用，使多种思维互相促进、和谐发展的主要形式.重视应用数形结合思想进行教学，有助于培养学生灵活运用知识的能力，现行中小学数学教材十分重视数形结合思想的应用.在高考复习中，如果教师适当地渗透数形结合的思想，就可极大地提高学生理解问题、分析和解决问题的能力，提高学生数学思维能力的深度和广度，从而提高复习效率.
　　一、集合问题中的数形结合思想
　　例1．有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？
　　分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：
　　n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C）=48
　　即：28+25+15-8-6-7+n（A∩B∩C）=48
　　∴n（A∩B∩C）=1，即同时参加数理化小组的有1人．
　　二、函数问题中的数形结合思想
　　例2．如果方程x+2ax+k=0的两个实根在方程x+2ax+a-4=0的两实根之间，试求a与k应满足的关系式．
　　分析：我们可联想对应的二次函数y=x+2ax+k，y=x+2ax+a-4的草图．这两个函数图像都是开口向上的，形状相同且有公共对称轴的抛物线（如图）．要使方程x+2ax+k=0的两实根在方程x+2ax+a-4=0的两实根之间，则对应的函数图像y与x轴的交点应在函数图像y与x轴的交点之内，它等价于抛物线y的顶点纵坐标不大于零，且大于抛物线y的顶点纵坐标．由配方法可知y与y的顶点分别为：P（-a，-a+k），P（-a，-a+a-4），故-a+a-4＜-a+k≤0.故可求出a与k应满足的关系式为：a-4＜k＜a．
　　三、方程问题中的数形结合思想
　　例3．已知x是方程x+lgx=3的根，x是方程x+10=3的根，那么x+x的值为（ ）
　　A.6 B.3 C.2 D.1
　　解:∵lgx=3-x，10=3-x，令y=lgx，y=3-x，y=10，
　　在同一坐标系中作出它们的简图.
　　∵x是方程x+lgx=3的解，x是方程x+10=3的解，
　　∴x，x分别对应图中A，B两点的横坐标.
　　∵函数y=lgx与y=10的图像关于y=x对称，
　　∴线段AB的中点C在直线上y=x.
　　∴由y=x，y=3-x解得x=，
　　∴x+x=3，故选B.
　　四、数形结合思想研究三角问题
　　例4.求函数y=的值域.
　　解：y=的形式类似于斜率公式y=
　　y=表示过两点P（2，-2），P（cosx，sinx）的直线斜率.
　　由于点P在单位圆x+y=1上，如图，显然，k≤y≤k.
　　设过P的圆的切线方程为y+2=k（x-2），
　　则有=1，解得k=
　　即k=