不同方程形式下曲线弧长公式的一致性

　　摘 要： 对曲线的方程在参数方程形式、极坐标方程形式、向量方程形式等不同形式下，证明了曲线弧长公式的一致性，即都统一于公式s=?蘩|′（t）|dt.
　　关键词： 曲线 弧长 导数
　　
　　1.引言
　　在大学数学的教学中，曲线的弧长是很重要的一部分内容，但对于曲线在不同的方程形式下，其弧长的计算公式也有所不同，这些公式有没有联系呢？这就是本文要回答的问题.
　　在参考文献［1］、［2］中，得出了平面曲线弧由参数方程
　　x=φ（t）y=?准（t） （α≤t≤β）（1.1）
　　给出时，曲线弧长s的计算公式为
　　s=?蘩dt（1.2）
　　这里要求φ（t）、?准（t）在［α，β］上具有一阶连续导数.
　　对于空间曲线，若其曲线弧由参数方程
　　x=x（t）y=y（t）z=z（t） （α≤t≤β）（1.3）
　　给出时，曲线弧长s的计算公式为
　　s=?蘩dt（1.4）
　　这里也要求x（t）、y（t）、z（t）在［α，β］上具有一阶连续导数.
　　当曲线弧由直角坐标方程
　　y=f（x）（a≤x≤b）（1.5）
　　给出时，曲线弧长s的计算公式为
　　s=?蘩dx（1.6）
　　这里要求f（x）在［a，b］上具有一阶连续导数.
　　当曲线弧由极坐标方程
　　ρ=ρ（θ）（α≤θ≤β）（1.7）
　　给出时，曲线弧长s的计算公式为
　　s=?蘩dθ（1.8）
　　这里要求ρ（θ）在［α，β］上具有一阶连续导数的性质.
　　2.公式的统一性
　　定理：引言中的公式（1.2）、（1.4）、（1.6）、（1.8）统一于公式s=?蘩|′（t）|dt.
　　公式s=?蘩|′（t）|dt参见文献［3］.证明：（1）证明公式（1.2）统一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　把曲线的参数方程改写为向量方程形式(t)={φ（t），?准（t）}（α≤t≤β）
　　则′（t）={φ′（t），?准′（t）}，|′（t）|=
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　（2）证明公式（1.4）统一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　同样把曲线的参数方程改写为向量方程形式（t）={x（t），y（t），z（t）}（α≤t≤β）.
　　则′（t）={x′（t），y′（t），z′（t）}，|′（t）|=
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　（3）证明公式（1.6）统一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　把直角坐标方程y=f（x）（a≤x≤b）改写为（t）={t，f（t）}（a≤x≤b）
　　则′（t）={1，f′（t）}，|′（t）|=
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　这里只要把变量t看着（1.5）中的x即可.
　　（4）证明公式（1.8）统一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　把曲线的极坐标方程改写为向量方程
　　（t）={ρ（t）cost，ρ（t）sint}（α≤t≤β）
　　则′（t）={ρ′（t）cost-ρ（t）sint，ρ′（t）sint+ρ（t）cost}
　　所以|′（t）|=
　　 =
　　这里只要把变量t看着（1.7）中的θ即可.
　　定理证毕.
　　另外我们还可以证明文献［3］中的曲面曲线弧长公式s=?蘩dt也统一于公式s=?蘩|′（t）|dt.
　　这里的E=•，F=•，G=•，即E，F，G是曲面的第一类基本量.
　　证明：对于曲面曲线= ［u（t），v（t）］，有=+，所以|′（t）|=•=（+）•（+）=•（）+2• +•（）=E（）+2F +G（）
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　证毕.
　　在大学数学的教学中，可以把相关联的内容同样起来，比如在上面关于曲线弧长公式的教学中，可以把不同类型的公式合在一起统一于一个公式，这样既便于学生记忆也便于学生总结归纳，在教学中能收到良好的效果.
　　
　　参考文献：
　　［1］同济大学应用数学系.高等数学（上册）［M］.第五版.北京：高等教育出版社，2004:276-279.
　　［2］华东师范大学数学系.数学分析（上册）［M］.第三版.北京：高等教育出版社，2009:247-250.
　　［3］梅向明等.微分几何［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2008:23-80.
　　
　　基金项目：宿州学院教研项目（szxyjyxm201021）