余弦定理在物理解题中的应用赏析

2011-12-31 00:00:00马光明
考试周刊 2011年91期


  《考试大纲》在能力要求中明确提出五大能力,其中应用数学处理物理问题的能力在这两年高考中体现得越来越多。
  余弦定理反映了三角形边、角之间的关系,而在物理解题中,有的物理量可以构成矢量三角形或几何三角形,这些三角形若是一般的三角形,则应用余弦定理可使物理问题迎刃而解。下面以余弦定理在高中物理解题中的应用为例,旨在培养学生运用数学知识解决物理问题的能力。
  一、余弦定理在静力学问题中的应用
  例1.已知F、F,F和F的夹角为θ。求F、F的合力F,并讨论合力与分力的关系。
  解:如图在△OFF中,有余弦定理得:F=F+F-2FF2cosθ
  即:F=
  讨论:当θ=0时F=F+F
  当θ=时F=
  当θ=且F=F时F=F=F
  当θ=π时,F=|F-F|
  可见:(1)两分力大小一定时,分力间夹角越大合力就越小。
  (2)合力可能大于分力,也有可能等于分力,甚至小于分力。
  点评:用计算法求两个共点力的合力,如果两分力间的夹角为直角时,则可利用三角函数或勾股定理求合力;如果两分力间的夹角为任意角时,则可利用余弦定理求合力并进行讨论。
  二、余弦定理在天体运动问题中的应用
  例2.2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星,其定点位置与东经98°的经线在同一平面内,若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°。已知地球半径R,地球自转周期T,地球表面重力加速度g(视为常量)和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示)。
  解:如图,同步卫星绕地球做匀速圆周运动,轨道半径为R,卫星质量为m,地球质量为M,由万有引力提供向心力得:
  G=mr①
  又∵地球表面附近mg=G即GM=gR②
  ①②得:r=③
  如图在△OAB中,由余弦定理得:AB=④
  则同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间为:t=⑤
  ③④⑤得:t=
  点评:同步卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,列出方程,再与黄金代换式相结合求得其轨道半径。然后找几何关系,应用余弦定理求得卫星到嘉峪关处的距离。
  三、余弦定理在电磁问题中的应用
  例3.在半径为R的半圆环区域中有一匀强磁场,磁场的方向垂直于纸面,磁感应强度为B,一质量为m,带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点(AP=d)射入磁场(不计重力影响)。
  (1)如果粒子恰好从A点射出磁场,求入射粒子的速度。
  (2)如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出,出射方向与半圆在Q点切线的夹角为φ(如图所示)求入射粒子的速度。
  解:(1)设入射粒子的速度为v,根据题意则有:
  qvB=m① d=2r②
  ①②得:v=
  (2)如图:联结PQ,作OQ跟出射方向垂直,交AD于O,O为带电粒子做匀速圆周运动的圆心,设半径为r,从P点入射的速度为v则有:
  qvB=m①
  即:r=②
  由几何知识知:∠OQO=Φ,
  所以在△OQO中OQ=R,OQ=r,OO=r-(d-R)
  根据余弦定理得:[r-(d-R)]=r+R-2rRcosΦ③
  ②③得:v=
  点评:带电粒子垂直进入匀强磁场,洛伦兹力提供向心力,做匀速圆周运动,列出方程。再根据几何关系,应用余弦定理列出另一方程,建立方程组,使问题得以解决。
  可见,只有通过作图,建立清晰的物理情景,做到“数形结合”、“数理结合”,才能培养学生灵活运用数学知识解决物理问题的能力。