构建与发展儿童数学问题解决的策略性知识

　　摘要：《数学课程标准》要求数学学习不能仅掌握一些概念和技能，也必须经历探索、猜想、推理等过程，解决有关问题。《数学课程标准》明确把“形成解决问题的一些策略”作为一个重要的课程目标。为此，数学教学中必须通过讲解、示范、实践等方式帮助学生获得有关解决问题的策略。基于此，本文就小学数学教学中几种常用的问题解决策略作出阐述，并予以分析、推广。
　　关键词：问题解决；策略性知识 ；构建
　　
　　达尔文说过，最有价值的知识是关于方法策略的知识。儿童在数学问题解决过程中发展策略性知识是非常重要的。何谓策略性知识？策略性知识是关于学习策略的知识，即如何确定“做什么”“如何做”的知识。也即：明确认识自己面临的学习任务，知道自己目前学习所达到的程度，能调用恰当的学习方法，能对自己的学习过程进行监控、反省和调节。如何构建和发展儿童数学问题解决的策略性知识呢？《数学课程标准》所提到的“问题”不限于纯粹的数学题目，其核心是需要学生通过“观察、思考、猜测、交流、推理”等富有思维成分的活动才能够解决的。问题解决的方法往往并不是唯一的。研究表明，第一学段（1～3年级）的儿童在数学问题解决过程中多采用尝试、作图、实际操作、概括规律、列举信息等策略。而第二学段（4～6年级）的儿童，除上述策略，已开始发展到较多地运用从简单情况着手、从相反方向思考等策略了。
　　一、尝试策略
　　尝试策略就是用多种方法，不断进行“试误”“纠正”的过程。在这一过程中，学生获取问题解决的策略。不同学生有不同的数学水平。因此，求同存异，允许学生用不同的方式去解决问题、去学习数学。例如，北师大版小学数学二年级上册教材第99页有这样一道情境问题：有26名乘客，每辆车限乘客6人，4辆车能坐得下吗？常见的做法是引导学生计算一下，26÷6＝4（辆）……2（人），还有2人未能上车，故得知4辆车不够，需要5辆车。看似问题得到圆满解决，其实不然。这样的学习组织缺乏对问题多种解决策略的尝试和探索。因此，可以放手让学生自己去尝试探索多种解决策略：（1）6×4=24（人），4辆车能坐24人，多出2个人，4辆车坐不下26人。（2）1辆车坐6人，两辆车坐12人……4辆车坐24人，26人需5辆车。（3）从26人里依次减去6人，减4次还剩有2人，因此，4辆车不够。（4）6×4=24（人），6×5=30（人），4辆车只能坐24人，坐不下26人。（5）画图表示，如 ，比较合适的是5辆车。当然，方法是多样的，学生还可以借助学具操作，获得结论。
　　二、作图策略
　　儿童因年龄差距，对符号运算性质的推理会感到比较困难。运用作图辅助策略，让学生在作业纸上涂涂画画，看似“浪费”时间，其实，简单的涂画，却开拓了学生的思路，辅助他们找到问题的关键，揭示本质，从而使问题迎刃而解。例如，人教版小学数学四年级下册教材第117页的植树问题：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共需要多少棵树苗？
　　分析：小路长100米，每隔5米分一段，可以分成20段。不妨先看其中的10段，从图上明显可以看出：
　　（1）两端栽树，栽树棵数比分的段数多1，即本题栽树棵数为：100÷5+1=21（棵）。其实，以上题为基础，利用图还可以清楚地分析出另两种类型植树问题，图示如下：
　　（2） 一端栽树，栽树棵数正好是分的段数，即本题栽树棵数为：100÷5=20（棵）。
　　（3）两端都不栽，栽树棵数比分的段数少1，即本题栽树棵数为：100÷5-1=19（棵）。
　　运用图形，把抽象的植树问题（包括植树问题的拓展），具体化、直观化，从而帮助学生迅速找到解决问题的突破口，轻松解决问题。因此，对学生进行画图策略的引导显得非常必要和重要。
　　三、操作策略
　　这是一种通过探索性动手操作而获得问题解决的策略。然而，在实际教学中，教师往往对学生不够信任、不够放心，给学生的操作给予了太多的暗示，使学生的操作失去了应有的主动性、探索性、多样性。因此，我们应注意给学生充分的动手操作的时间和空间，让学生在自主的探索过程中实现操作策略的多样化。如，探究“三角形内角和”这一问题，让学生自己构造一个三角形，通过自己的操作，得出三角形内角和为180。在此过程中，学生可以通过动手操作，将这个问题转化为一个已知的问题进行推导性研究。
　　（1）量，通过量多个三角形的全部内角，进行运算，得出结论。
　　（2）摆、剪、拼，得出三角形三内角和度数为一个平角的度数，即180°。
　　（3）折，将长方形（或正方形）纸对折成两个相同的三角形，已知长方形（或正方形）内角和360°，那么，它的一半，即其中一个三角形的内角和为180°。
　　当然，方法有很多。通过这种开放性的操作策略，不仅可以获得问题的解决，还有利于学生发散性思维和创造性思维的发展，获益匪浅。
　　四、概括策略
　　寻找规律是解决数学问题的非常重要并且有效的方法。碰到复杂问题，可以先研究简单的特殊问题，通过观察、比较、分析、判断等，找出一般性规律，并用这一规律解决复杂问题。如，用4、5、6、7、8、9共6个数字组成两个3位数，要求组成的积最小，应怎样排列？这道题若不找规律，直接拼凑，往往事倍功半，甚至徒劳无功。为此，可引导学生先研究与之类似但难度较低的特殊情况。用1、2、3、4组成两个两位数，使积最小，如何排列？通过尝试，引导学生概括出规律：（1）要使积最小，两个数要尽可能小，因此，较小的数应放在较高位；（2）较小的数与较小的数搭配写；（3）所组成的两个数的差应尽可能小。经过数据分析和这些规律的发现与归纳，再回头解决原题就简单多了。
　　五、列举策略
　　在解决问题过程中，将问题的相关条件以表格形式列出，使学生对表征问题和寻找解决问题的方法起到事半功倍的效果。例如，实验小学641名师生要租车秋游，有两种车可选择，一种是46座大客车，租金每辆每天450元；另一种是24座中巴车，租金每辆每天230元。现出租公司大客车只有5辆，中巴车有30辆。问：秋游一天，至少要租车费多少元？本题条件多，又不可能列式求得结果。所以，可以指导学生运用画表列举信息的策略。
　　从表中可以看出，租车情况分为6种，即大客车分别租0辆到5辆，不足的座位数由中巴车补充。把每种情况的租金都算出来，进行比较，求出结果：至少要租车费6180元。这样，不仅让学生用数学知识解决了生活中实际问题，更为可贵的是经历了列表列举信息的过程，并运用制表策略很快解决数学问题。
　　六、化简策略
　　根据认识论原理，人们对事物的认识总是从简单到复杂，由个别到一般。当我们对复杂问题感到困惑的时候，不妨采用以退为进的策略，从复杂问题返回到最简单、最原始的同构性问题，对它进行一些探索，找到解决问题的突破口，或对原问题进行分解转化，将其变化成若干个比较简单的问题，然后各个击破，分而治之，达到解决问题的目的。例如，一共有几个角？（图左一）此题由于射线数不确定，往往令学生无从入手。于是，教师可出示几个简单的图形（图右，共4个）：
　　让学生分别去数一数各有几个角？然后让学生观察角的个数与射线数的关系。由此，学生可以把探究的简单问题的结论推广到一般形式：有n条射线的角共有[n(n-1)÷2]个，复杂的问题不再复杂。
　　七、逆推策略
　　在解决某一问题的时候，当从正面思考遇到困难时，这时，如果能从相反的方向去思考，往往能收到意想不到的效果。从数学问题解决的方法看，它就是一种“逆推法”。例如，有一个数，把它乘4以后再减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是多少？
　　我们先顺着想，如果这个数是△，则可列出算式：（△×4-46）÷3-10=4，这里要求出△，不简单。顺着不行倒着想。最后结果4是怎么来的？是某个数减去10来的。所以，减去10之前结果应该是14；14是前面的结果除以3来的，所以，小括号里的结果应是14×3=42；42是两个数的积减去46后得来的，所以△×4=42+46=88，就能求出△是几了。
　　事实上，当一个数学问题呈现在面前时，思维的触须是多端的。以上所阐述的几种解决问题的策略只是平时常用的引导途径。它们是相辅相成，不可分割的。为了更有效地提高儿童数学问题解决能力，教师还要引导学生在数学问题解决的实践中不断思索探求、逐步积累经验，以掌握更多有效的问题解决方法和策略。在此过程中，教师除了提倡策略的多样化、强调学生的学习积极性外，还应鼓励学生大胆尝试从不同角度、不同思路去思考，寻找解决问题的最佳途径，这也是学生思维灵活性、开放性的一种表现。
　　
　　参考文献：
　　[1]教育部.数学课程标准（试行）[M].北京:北京师范大学