导数与不等式有关的问题

　　摘 要： 导数是微积分的初步知识，是研究函数性质的一种有力工具，可用于求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域，等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质。因此，很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。本文具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。
　　关键词： 导数 不等式 函数
　　
　　在高中数学新课程标准中，关于导数的教学，有这样的要求:教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。导数是研究函数性质的一种重要工具，可用于求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域，等等。作为导数在研究函数中应用的一个副产品，在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质。因此，很多时侯可以先利用导数作为工具得出函数的性质，再利用函数的性质解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的应用。
　　一、利用导数证明不等式
　　函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：
　　1.先用导数证明该函数的增减性，再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。
　　例1：已知，i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n，证明：（1+m）＞（1+n）.
　　解析：∵1＜i≤m＜n，且i，m，n为正整数∴2≤m＜n.
　　设f（x）=，x≥2，则f′（x）=.
　　由x≥2知：0＜＜1，ln（1+x）≥ln3＞1.
　　∴f′（x）＜0，∴f（x）是单调减函数.
　　又2≤m＜n，∴＞.
　　∴nln（1+m）＞mln（1+n）.
　　故有（1+m）＞（1+n）.
　　评析：本题一般处理方法是利用二项式定理证明，这里通过构造函数然后用导数证明，显得简洁明快。
　　2.先把待比较大小的式子变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，最后利用函数单调性来比较大小。
　　例2：已知：a，b∈R，b＞a＞e，求证：a＜b.（e为自然对数的底）
　　证：要证a＞b，只需证lna＞lnb，即证：blna-alnb＞0.
　　设f（x）=xlna-alnx（x＞a＞e）；则f′（x）=lna-.
　　∵a＞e，x＞a，∴lna＞1，＜1，∴f′（x）＞0，因而f（x）在（0，+∞）上递增.
　　∵b＞a，∴f（b）＞f（a）.
　　故blna-alnb＞alna-alna=0，即blna＞alnb，所以a＞b成立.
　　注意：此题若以a为自变量构造函数f（x）=blnx-xlnb（e＜x＜b），
　　则f′（x）=-lnb，f（x）＞0时x＜，f′（x）＜0时x＞，故f（x）在区间（e，b）上的增减性要由e与lnb的大小而定，当然由题可以推测e＞，故f（x）在区间（e，b）上的递减，但要证明e＞则需另费周折。因此，本题还是选择以a为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。
　　3.利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。
　　导数的另一个作用是求函数的最值。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为求函数最值问题。
　　例3:求证：n∈N，n≥3时，2＞2n+1.
　　证明：要证原式，即证：2-2n-1＞0，n≥3时成立.
　　设f（x）=2-2x-1（x≥3），则f′（x）=2ln2-2（x≥3）.
　　∵x≥3，∴f′（x）≥2ln3-2＞0.
　　∴f（x）在［3，+∞）上是增函数.
　　∴f（x）的最小值为f（3）=2-2×3-1=1＞0.
　　所以，n∈N，n≥3时，f（n）≥f（3）＞0，即n≥3时，2-2n-1＞0成立.
　　4.利用导数求出函数的值域，再证明不等式。
　　例4：f（x）=x-x，x、x∈［-1，1］时，求证：|f（x）-f（x）|≤.
　　证明：∵f′（x）=x-1，x∈［-1，1］时，f′（x）≤0，
　　∴f（x）在［-1，1］上递减，故f（x）在［-1，1］上的最大值为f（-1）=，最小值为f（1）=-，即f（x）在［-1，1］上的值域为-，.
　　所以x，x∈［-1，1］时，|f（x）|≤，|f（x）|≤，
　　即有|f（x）-f（x）|≤|f（x）|+|f（x）|≤+=.
　　二、利用导数解决不等式恒成立问题
　　例5：已知函数f（x）=x+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0.求实数的取值范围.
　　解析：由题意知f′（x）=3x+3a，则g（x）=3x-ax+3a-5.
　　令φ（a）=（3-x）a+3x-5（-1≤a≤1），对所有-1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0.
　　∴φ（1）＜0φ（-1）＜0，即3x-x-2＜03x+x-8＜0.
　　解得：-＜x＜1，故x∈-，1时，对满足-1≤a≤1的一切a的值都有g（x）＜0.
　　评析：一般的，若已知函数在区间I上的不等式恒成立问题，求函数解析式中所含参数的取值范围，这是考查用导数研究函数单调性的一种常用方式，这类问题往往都可以借助导数转化为一个不等式组问题，即φ（1）＜0φ（-1）＜0，在区间I上成立，然后根据不等式恒成立问题的解法进行求解。
　　不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m＞f（x）（或m＜f（x））恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。
　　例6：函数f（x）=-ax（a＞0），解不等式f（x）≤1.
　　解：由题知f′（x）=-a=-a，
　　①∵-1＜＜1，
　　∴a≥1时，f′（x）＜1－a＜0恒成立，故f（x）在R上单调递减.
　　又f（0）=1，所以x≥0时f（x）≤f（0）=1，
　　即a≥1时，f（x）≤1的解为{x|x≥0}.
　　②0＜a＜1时，若f′（x）=-a=-a=0
　　则x=或x=-，
　　f′（x）＞0时，解得x∈-∞，-∪，+∞，
　　f′（x）＜0时，解得x∈-，.
　　故f（x）在x∈-，上单调递减，
　　f（x）在-∞，-或，+∞上单调递增.
　　又f（x）=1时解得x=0或x=，
　　且0＜a＜1时0＜＜，
　　所以0＜a＜1时f（x）≤1的解为x|0＜＜.
　　综上，a≥1时f（x）≤1的解为{x|x≥0};
　　0＜a＜1时f（x）≤1的解为0≤x≤.
　　总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。
　　
　　参考文献：
　　［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京:人民教育出版社，2003.
　　［2］人民教育出版社.普通高中课程标准实验教科书A版.不等式选讲（选修4-5）［M］.北京:人民教育出版社，2005，（6）.
　　［3］状元之路·数学.
　　［4］赵大鹏.3+X高考导练.数学.中国致公出版社.
　　［5］王宜学.沙场点兵.数学.辽宁大学出版社.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”