实施数学实

　　摘 要： 数学实验是一种思维实验和操作实验相结合的实验，多媒体技术和网络技术为其提供了有效的手段。本文结合高中数学新课程实践，分析了开展数学实验的一般教学过程和具体操作，并且探讨了数学实验的有关注意事项，阐述了运用数学实验有效实施过程教学，培养学生数学能力的问题。
　　关键词： 数学实验 过程教学 能力培养
　　
　　数学实验是指根据研究目标，在计算机和软件的帮助下，创设或改变某种数学情境，在某种条件下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律的过程。这样就抛开繁琐、乏味的计算过程，让学生将有限的精力集中于问题的数学化，较快地掌握其中的数学思想、方法和几何背景；它让学生主动探索数学的规律，了解数学理论产生的过程和基础。能够提高学生的学习兴趣，加深对数学知识的理解。数学实验通常可分为两类：一类是以动手操作为主的称之为操作性实验，它主要是运用实物、学具、模型、数学媒体等器材和设备，让学生进行操作、试验、探索、讨论，增强对所学知识的感性认识，得出初步结论。另一类是以动脑思考为主的称之为思考性实验，它不需要那么多操作性的工具，在动手的同时，更需要动脑思考，对所学的数学知识或处理的数学问题不断进行尝试调整、归纳猜想、反思总结，探索问题的结论（当然还必须通过严密的逻辑论证说明结论的正确性）。高中数学新课程注重过程教学，强调落实三维课程目标，恰当运用数学实验可以彰显数学学习过程，提高学生的数学综合能力。
　　一、数学实验的一般教学过程和教学方法
　　数学实验教学过程同物理实验、化学实验类似，一般地可分为六个阶段：
　　1.课前预习——实验前派发实验报告表，要求学生事前了解实验的目标和预习实验所需的必备知识；
　　2.实验设计——学生针对问题，设计并实施一定的实验步骤，清晰地表达问题、体验问题和理解问题；
　　3.观察、分析与思考——学生观察实验过程、分析实验结果和思考问题的结论；
　　4.发现或猜想——抽象、概括形成概念或提出假设、猜想；
　　5.适当性检验——在新的情境中检验所形成的观念或猜想的适当性和普遍性；
　　6.完成实验报告——填写好实验报告和完成后附的练习题。
　　二、运用数学实验，彰显学习过程
　　1.运用实验形成数学概念，培养学生的探究能力。
　　许多概念或知识都来源于生活生产实践，因此数学教学应以经验为基础的，引导学生从现实经验中抽象出数学的概念和结构，然后将得到的经验归纳整理成一个有意义的整体，继而产生顿悟、理解，逐步形成新的概念或新的知识。教师可以积极引导学生运用相关实物、几何模型等器材，大胆地去操作、试验、探讨，使数学的学习成为一种主动的探究过程。
　　例如：学习“球面距离”这一概念，尽管在学习“球面距离”之前，我们已经掌握了有关点、线、面之间的距离概念，但它们对学习“球面距离”帮助不大。球面上任意两点，是不是经过该两点的大圆劣弧的长最短呢?许多学生对其最小性问题心存疑问，根据学生的实际情况，用微积分知识进行论证显然是不现实的，若借助实验手段则能直观简洁地给予说明。
　　例1.如图1，分别以Oi（i=1、2、3…）为圆心，作过点A、B的劣弧（或半圆），易得随着半径的增大，其弧长越短，并逐渐趋近于线段AB的长，即两点的弧长中，以较大半径的圆所在的弧长较短.利用这一生动直观的实验展开探索，使学生对“球面距离”的概念，以及它的最小性有了一个感性上较为明确的认识，同时也增强了学生主动探索问题的能力.
　　2.借助实验验证结论，展现探索问题的思路和方法。
　　例2.设A（x，y）为椭圆x+2y=2上的任意一点，过点A作一条斜率为-的直线l，又设d为原点至直线l的距离，r、r分别为点A到椭圆两焦点的距离.试证明：=常数.
　　略解：设过点A的直线l的方程为y-y=-（x-x）
　　即xx+2yy=x+2y
　　∵x+2y=2，∴xx+2yy=2
　　d==
　　r=（x+1）+y，r=（x-1）+y
　　∴rr=（x-4）
　　∴=（定值）
　　提出问题：在变化的图形中为什么保持数量关系恒等不变?
　　学生对此缺乏感性认识，即便画出静态图（往往是不正确的），也难以发现蕴含在其中的几何原理.
　　引入“几何画板”辅助教学：师生在网络教室一起打开课件（如图2），推测与椭圆相切.
　　验证：构造动画使点A沿椭圆运动，这时学生真正看到了随点A运动时，一直保持和椭圆相切.“测算”距离r、r、d，学生清晰观察到点A运动时，r、r、d的值被不断刷新，然而恒为定值.
　　从以上的实验教学过程中，在师生的共同探究下，展现出了探索问题的思路和方法。在教学中，学生对学习活动的积极参与，营造了问题解决与协作学习的良好的思维情境和氛围。因此印象也特别深刻，同时也有助于理解数学知识的实质及合情推理与论证推理能力的培养。由学生自己动手，用他们熟悉的、喜欢“玩”的计算机解决几个经过简化的实际问题，让学生亲身感受到用所学的数学解决实际问题的酸甜苦辣。在培养学生独立解决问题的同时，激发他们进一步学好数学的愿望，促成教学的良性循环。
　　3.运用数学实验，大胆探索科学规律。
　　生活中的许多定理、法则、性质、公式等结论都是在实验探索的基础上概括提炼出来的。在数学教学中，我们教师如能发掘学习内容，引导学生用眼去观察，动手去实验，用脑去思考，主动去探索，像一个小数学家那样去提出问题、分析问题、解决问题，从而再现（模拟）数学结论、数学规律的发现过程，那样不仅使学习生动有趣，而且能促使学生较深刻地领悟数学结论、数学规律的真正内涵，促进学生的数学素质得到不断提高。新课程提倡教师把教学的重点放在过程中，放在揭示知识形成的规律上，让学生自己动手实验，自己去发现数学原理，这样得出的结论就会理解深刻，容易记牢。新课程也大力提倡学科之间的有机整合，提升学生综合素养。因此我们不妨继续对例2进行深化拓展，运用数学实验把数学与物理有机整合起来，运用数学方法来发现物理规律。
　　探索：“测算”AF和AF与l所成角的大小，并列展示在平台上，提示学生注意两角关系，当点A再次运动时，发现这两角保持相等.说明AF和AF存在反射关系.为了方便进行实验，过A作l的垂线（法线）l′并标记镜面，构造点F关于l′的对点F′，结果看到点F′在射线AF上.
　　结论：（椭圆镜面的光学性质）——焦点发出的光线经椭圆面镜反射会聚另一焦点.
　　再探索：例题中椭圆x+2y=2改为双曲线x-2y=2，结论还会成立吗?重复以上操作，学生惊奇地发现结论是如此相似，还是双曲线的切线，依然是定值.
　　同样得出这样一个光学特性：一焦点发出的光线经双曲线面镜反射，反射光线延长线会聚另一焦点。
　　应用：上面从数学动态模拟中探索出隐含在其中的物理光学特征，反过来，我们为什么不能从熟悉的物理现象里抽象出数学本质呢?
　　探照灯原理：从焦点出发的光线经抛物面镜反射后以平行于其对称轴的方向射出。
　　数学发现应用：从抛物线上一点出发的两条射线，一条经过焦点，另一条（位于抛物线内部）平行于对称轴，则这个角的平分线所在直线必定与该点的抛物线的切线垂直。
　　另外教学中还可以启发学生给出常数的几何意义，归纳出过圆锥曲线上一点的切线的画法。
　　总结：从上面的过程看，经历实践—认识—再实践—再认识的过程，使学生自觉、主动、深层次地参与到教学活动之中，在利用“几何画板”探索几何奥秘的过程中，数形结合使人恍然大悟，发现规律让人欣喜莫名，数理综合更叫人耳目一新，师生们从内心的创造和体验中领悟到数字的真谛。这将极大地调动学生的学习积极性，优化教学环境，对提高教育教学质量、提高学生的数学能力都有着积极的促进作用。
　　
　　4.运用实验解决数学问题，增强学生学习的主体性。
　　建构主义认为，学习是一种建构，或者说是重新构造的活动，所以数学的教学核心不是由教师向学生灌输或“贩卖”知识，而应该是学生的“再创造”，也就是根据自己的体验并用自己的思维方式去创造出有关的数学知识，既然学习是学生的“再创造”，那么数学实验教学就应该以学生为主体。教师通过创设情境，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使全体学生积极、主动地参与到数学实验教学过程中来，达到掌握知识，发展能力，学会创新，促使学生的主体性得到发展和完善。比如在解决数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思维，但有些问题按照这样的思维方式求解，往往打不开思维，形成不了思路，借助于数学实验手段对问题进行探究，能帮助我们越过或绕过问题的障碍，克服思维上的困难，逐步形成解决问题的新思路、新途径。
　　例3.已知数列{a}中，a＞0（n∈N），它的前n项之和为S，若S，S，S…，S是一个首项为3，公差为1的等差数列，试比较S与3na（n∈N）的大小.
　　分析：可求得S=，
　　a=（n=1）-（n≥2）
　　n=1时，S-3na=-2S＜0，∴S＜3na
　　n≥2时，S-3na=-3n（-）
　　=3n-（3n-1）（1）
　　含有根号，常规变形无法展开，无法判断上式符号，则大小关系也就无法确定，必须另求它策，不妨通过数学实验进行探索。
　　探索1：（1）中n是自然数，启发学生思考：与自然数有关的问题，一般采用何种方法解决？使学生联想归纳法并使用计算器进行试验，发现：
　　当n=2，3时，S-3na＞0；
　　当n=4，5，6时，S-3na＜0.
　　猜想：当n≥4时，3n-（3n-1）＜0.
　　探索2：引导学生思考（1）中的符号情况（或大于0或小于0），利用综合分析尝试：假设3n-（3n-1）＞0，则3n＞（3n-1），两边平方得9n（n+1）＞（3n-1）（n+2），从而有-3n+11n-2＞0，得n=2或3时，式（1）大于0；n≥4时，式（1）小于0，问题可获解.
　　探索1运用的是操作性实验，探索2运用的是思考性实验，在上述借助于数学实验解决问题的过程中，通过创设条件实施平方、使用计算器探索规律等手段，并利用综合分析或归纳猜想，使学生亲身经历了动手操作、思考分析、探究问题的全过程，从而激活了思维，促进了探索能力的提高。
　　三、运用数学实验的注意事项
　　1.恰当运用数学实验，切忌滥用。
　　新课程倡导学生动手实践、自主探索，于是有的教师几乎每节课都要安排学生动手“实验”一番，就连大多数学生一看便知的较易的内容也要动手操作，美其名曰“自主发现”……似乎唯有这样才能体现新课程的理念，其实这种理解是片面的，大量的教学实践也证明，这样的实验是无效的、失败的。我们可以运用数学实验，创设问题情境，激发学生数学学习的动机。我们可以运用数学实验，展现知识的形成过程。我们可以运用数学实验，提高学生的思维层次，即通过创设情境，引导学生熟悉要研究的问题，通过实验活动和应用，培养学生分析问题、解决问题的能力，通过学生的大胆猜想和小心求证，培养学生的创造性思维。通过讨论和交流，展示思维过程，鼓励学生从多角度、多层面去思考问题，培养思维的广阔性；鼓励学生进行联想，培养思维的灵活性；鼓励变式引伸，培养思维的深刻性，把培养学生的多种思维能力渗透在数学实验教学中，从而使学生的思维层次得到提高。
　　2.始终重视数学本质的教学，突出“数学味”。
　　在新课程的教学中，有些教师只注重了学生的活动和实验，而忽视了“数学化”的过程，不注重对数学思想和数学本质的揭示，其教学设计仍趋向于一种“结果型”的模式。我们开展数学实验，以“做”为载体，帮助学生架起思维和建构的平台，在“做”中思维，“做”中发现，使学生体验数学的过程，在探索知识过程和实践过程中，实现新课程提出的三个维度的教学目标。
　　3.教师要提出明确而适度的期望和要求。
　　研究表明，学生学习失效的原因之一在于学习缺乏目的性、方向性，因而造成学习的盲目性和无效感。因此，在进行数学实验活动之前提出具体的目标和实验内容的意义、价值，对学生具有动机作用。尽管提出的问题是开放的，给学生的思维空间很大，但学生的努力目标和方向又是具体的，是学生经过努力可以达到的，这样学生就会积极主动地操纵计算机，充分发挥他们的想象力与创造力，认真地通过实验去解决问题。
　　4.教师给予学生清楚而及时的反馈信息。
　　在数学实验教学中，教师要不断鼓励学生，及时使用肯定评价语言，对看起来很荒谬，但确有新意的猜想，也要及时给予肯定，对于那些思考问题还不成熟的学生，只要参与，教师都应给予鼓励，并把他们的参与同集体解决问题的成功联系起来。为鼓励学生积极参与实验，教师也要注意肯定性评价语言的选择和及时使用，即使学生在实验中遇阻，教师也要注意使评价语言便于学生接受，使学生能从中受到鼓舞，使学生的学习欲望和自信心不断增强。尤其是“归纳或猜想”一定要由学生自己得到，如果学生得不到教学预期的效果，教师应进一步引导学生再次实验，再次观察和分析，直到获得成功。如果到下课时间，学生还未获得预期的发现，教师可以指出要注意的事项，让学生课后或在家里继续进行实验（作为作业），直到获得发现为止。
　　总之，数学实验具有直观性、操作性、反复性、探索性等特点，在数学知识的发生、发展过程中，在数学问题的解决过程中，恰当运用数学实验，可以使学生直接地观测、亲自动手操作、深入思考分析、反复探索，从而彰显学习过程，突破学习难点，突出学习重点，切实提高学生的探究能力。
　　
　　参考文献：
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　　［5］徐厚生.运用“数学实验活动”教学的实验与调查［J］.重庆教育学院学报，2005，（3）.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”